La fonction de génération de moment d'une variable aléatoire

Une façon de calculer la moyenne et la variance d'une distribution de probabilité est de trouver les valeurs attendues des variables aléatoires X et X². Nous utilisons la notation E(X) et E(X²) pour désigner ces valeurs attendues. En général, il est difficile de calculer E(X) et E(X²) directement. Pour contourner cette difficulté, nous utilisons une théorie mathématique et un calcul plus avancés. Le résultat final est quelque chose qui facilite nos calculs.

La stratégie pour ce problème est de définir une nouvelle fonction, d'une nouvelle variable t c'est ce qu'on appelle la fonction de génération de moment. Cette fonction nous permet de calculer des moments en prenant simplement des dérivées.

Hypothèses

Avant de définir la fonction de génération de moment, nous commençons par définir la scène avec la notation et les définitions. Nous laissons X être une variable aléatoire discrète. Cette variable aléatoire a la fonction de masse de probabilité F(X). L'espace échantillon avec lequel nous travaillons sera désigné par S.

Plutôt que de calculer la valeur attendue de X, nous voulons calculer la valeur attendue d'une fonction exponentielle liée à X. S'il y a un nombre réel positif r tel que E(e^tX) existe et est fini pour tous t dans l'intervalle [-r, r], alors nous pouvons définir la fonction de génération de moment de X.

Définition

La fonction de génération de moment est la valeur attendue de la fonction exponentielle ci-dessus. En d'autres termes, nous disons que la fonction de génération de moment de X est donné par:

M(t) = E(e^tX)

Cette valeur attendue est la formule Σ e^tx F (X), où la sommation est reprise X dans l'espace échantillon S. Cela peut être une somme finie ou infinie, selon l'espace d'échantillonnage utilisé.

Propriétés

La fonction de génération de moment possède de nombreuses fonctionnalités qui se connectent à d'autres sujets en statistiques probabilistes et mathématiques. Certaines de ses caractéristiques les plus importantes incluent:

• Le coefficient de e^tb est la probabilité que X = b.
• Les fonctions de génération de moment possèdent une propriété d'unicité. Si les fonctions de génération de moment pour deux variables aléatoires correspondent, alors les fonctions de masse de probabilité doivent être les mêmes. En d'autres termes, les variables aléatoires décrivent la même distribution de probabilité.
• Les fonctions de génération de moment peuvent être utilisées pour calculer des moments de X.

Calcul des moments

Le dernier élément de la liste ci-dessus explique le nom des fonctions de génération de moments et également leur utilité. Certaines mathématiques avancées disent que dans les conditions que nous avons énoncées, la dérivée de tout ordre de la fonction M (t) existe pour quand t = 0. De plus, dans ce cas, nous pouvons changer l'ordre de sommation et de différenciation par rapport à t pour obtenir les formules suivantes (toutes les sommes sont supérieures aux valeurs de X dans l'espace échantillon S):

• M«(t) = Σ xe^tx F (X)
• M"(t) = Σ X²e^tx F (X)
• M"(t) = Σ X³e^tx F (X)
• M⁽ⁿ⁾«(t) = Σ Xⁿe^tx F (X)

Si nous définissons t = 0 dans les formules ci-dessus, puis le e^tx terme devient e⁰ = 1. On obtient ainsi des formules pour les moments de la variable aléatoire X:

• M«(0) = E(X)
• M"(0) = E(X²)
• M"(0) = E(X³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = E(Xⁿ)

Cela signifie que si la fonction de génération de moment existe pour une variable aléatoire particulière, alors nous pouvons trouver sa moyenne et sa variance en termes de dérivées de la fonction de génération de moment. La moyenne est M'(0), et la variance est M"(0) - [M«(0)]².

Sommaire

En résumé, nous avons dû nous plonger dans des mathématiques assez puissantes, donc certaines choses ont été passées sous silence. Bien que nous devions utiliser le calcul pour ce qui précède, au final, notre travail mathématique est généralement plus facile qu'en calculant les moments directement à partir de la définition.