Comprendre la définition de la différence symétrique

La théorie des ensembles utilise un certain nombre d'opérations différentes pour construire de nouveaux ensembles à partir des anciens. Il existe différentes manières de sélectionner certains éléments dans des ensembles donnés tout en en excluant d'autres. Le résultat est généralement un ensemble qui diffère des originaux. Il est important d'avoir des façons bien définies de construire ces nouveaux ensembles, et les exemples incluent l'union, l'intersection et la différence de deux ensembles. Une opération d'ensemble qui est peut-être moins connue est appelée la différence symétrique.

Définition de différence symétrique

Pour comprendre la définition de la différence symétrique, nous devons d'abord comprendre le mot «ou». Bien que petit, le mot «ou» a deux utilisations différentes dans la langue anglaise. Il peut être exclusif ou inclusif (et il vient d'être utilisé exclusivement dans cette phrase). Si on nous dit que nous pouvons choisir entre A ou B et que le sens est exclusif, alors nous ne pouvons avoir qu'une des deux options. Si le sens est inclusif, alors nous pouvons avoir A, nous pouvons avoir B, ou nous pouvons avoir à la fois A et B.

Généralement, le contexte nous guide lorsque nous nous heurtons au mot ou et nous n'avons même pas besoin de réfléchir à la façon dont il est utilisé. Si on nous demande si nous voulons de la crème ou du sucre dans notre café, cela implique clairement que nous pouvons avoir les deux. En mathématiques, nous voulons éliminer l'ambiguïté. Ainsi, le mot «ou» en mathématiques a un sens inclusif.

Le mot «ou» est donc employé au sens inclusif dans la définition de l'union. L'union des ensembles A et B est l'ensemble des éléments de A ou B (y compris les éléments qui se trouvent dans les deux ensembles). Mais cela vaut la peine d'avoir une opération d'ensemble qui construit l'ensemble contenant des éléments dans A ou B, où «ou» est utilisé dans le sens exclusif. C'est ce que nous appelons la différence symétrique. La différence symétrique des ensembles A et B sont ces éléments dans A ou B, mais pas dans A et B. Bien que la notation varie pour la différence symétrique, nous écrirons ceci comme A ∆ B

Pour un exemple de la différence symétrique, nous considérerons les ensembles UNE = 1,2,3,4,5 et B = 2,4,6. La différence symétrique entre ces ensembles est 1,3,5,6.

En termes d'autres opérations d'ensemble

D'autres opérations d'ensemble peuvent être utilisées pour définir la différence symétrique. D'après la définition ci-dessus, il est clair que nous pouvons exprimer la différence symétrique de A et B comme la différence de l'union de A et B et l'intersection de A et B. Dans les symboles, nous écrivons: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Une expression équivalente, utilisant différentes opérations d'ensemble, permet d'expliquer la différence symétrique de nom. Plutôt que d'utiliser la formulation ci-dessus, nous pouvons écrire la différence symétrique comme suit: (A - B) ∪ (B - A). Ici, nous voyons à nouveau que la différence symétrique est l'ensemble des éléments dans A mais pas B, ou dans B mais pas A. Ainsi, nous avons exclu ces éléments à l'intersection de A et B. Il est possible de prouver mathématiquement que ces deux formules sont équivalents et se réfèrent au même ensemble.

La différence symétrique de nom

La différence de nom symétrique suggère une connexion avec la différence de deux ensembles. Cette différence d'ensemble est évidente dans les deux formules ci-dessus. Dans chacun d'eux, une différence de deux ensembles a été calculée. Ce qui distingue la différence symétrique de la différence, c'est sa symétrie. Par construction, les rôles de A et B peuvent être modifiés. Ce n'est pas vrai pour la différence entre deux ensembles.

Pour souligner ce point, avec juste un peu de travail, nous verrons la symétrie de la différence symétrique puisque nous voyons A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.