Quels sont les effets inverses, contrapositifs et inverses?

Les déclarations conditionnelles font partout leur apparition. En mathématiques ou ailleurs, il ne faut pas longtemps pour tomber sur quelque chose de la forme "Si P ensuite Q.»Les déclarations conditionnelles sont en effet importantes. Ce qui est également important, ce sont les déclarations qui sont liées à la déclaration conditionnelle d'origine en changeant la position de P, Q et la négation d'une déclaration. En commençant par une déclaration originale, nous nous retrouvons avec trois nouvelles déclarations conditionnelles qui sont nommées l'inverse, la contrapositive et l'inverse.

Négation

Avant de définir l'inverse, la contraposition et l'inverse d'une déclaration conditionnelle, nous devons examiner le sujet de la négation. Chaque énoncé logique est vrai ou faux. La négation d'une déclaration implique simplement l'insertion du mot «non» à la partie appropriée de la déclaration. L'ajout du mot «non» est effectué de sorte qu'il modifie le statut de vérité de la déclaration.

Cela aidera à regarder un exemple. La déclaration «Le triangle rectangle est équilatéral» a la négation «Le triangle rectangle n'est pas équilatéral». La négation de «10 est un nombre pair» est la déclaration «10 n'est pas un nombre pair». Bien sûr, pour ce dernier exemple, nous pourrions utiliser la définition d'un nombre impair et dire à la place que "10 est un nombre impair". Nous notons que la vérité d'une déclaration est l'opposé de celle de la négation.

Nous examinerons cette idée dans un cadre plus abstrait. Lorsque la déclaration P est vrai, la déclaration «pas P" c'est faux. De même, si P est faux, sa négation P" est vrai. Les négations sont généralement désignées par un tilde ~. Donc au lieu d'écrire «pas P"Nous pouvons écrire ~P.

Converse, Contrapositive et Inverse

Nous pouvons maintenant définir l'inverse, la contrapositive et l'inverse d'une instruction conditionnelle. Nous commençons par la déclaration conditionnelle «Si P ensuite Q."

• L’inverse de la déclaration conditionnelle est «Si Q ensuite P."
• Le contrapositif de la déclaration conditionnelle est «sinon Q alors non P."
• L'inverse de l'instruction conditionnelle est «Sinon P alors non Q."

Nous verrons comment ces déclarations fonctionnent avec un exemple. Supposons que nous commencions par l'énoncé conditionnel "S'il a plu la nuit dernière, alors le trottoir est mouillé."

• L'inverse de la déclaration conditionnelle est: «Si le trottoir est mouillé, il a plu la nuit dernière».
• Le contrapositif de la déclaration conditionnelle est: «Si le trottoir n'est pas mouillé, il n'a pas plu la nuit dernière.»
• L'inverse de l'énoncé conditionnel est «S'il n'a pas plu hier soir, alors le trottoir n'est pas mouillé».

Équivalence logique

Nous pouvons nous demander pourquoi il est important de former ces autres déclarations conditionnelles à partir de notre déclaration initiale. Un examen attentif de l'exemple ci-dessus révèle quelque chose. Supposons que la déclaration originale «S'il a plu la nuit dernière, alors le trottoir est mouillé» est vraie. Laquelle des autres affirmations doit également être vraie?

• L'inverse «Si le trottoir est mouillé, il a plu la nuit dernière» n'est pas nécessairement vrai. Le trottoir pourrait être mouillé pour d'autres raisons.
• L'inverse «S'il n'a pas plu la nuit dernière, alors le trottoir n'est pas mouillé» n'est pas nécessairement vrai. Encore une fois, ce n'est pas parce qu'il n'a pas plu que le trottoir n'est pas mouillé.
• Le contrapositive "Si le trottoir n'est pas mouillé, alors il n'a pas plu la nuit dernière" est une vraie déclaration.

Ce que nous voyons dans cet exemple (et ce qui peut être prouvé mathématiquement), c'est qu'un énoncé conditionnel a la même valeur de vérité que son contrapositif. Nous disons que ces deux déclarations sont logiquement équivalentes. Nous voyons également qu'une déclaration conditionnelle n'est pas logiquement équivalente à son inverse et inverse.

Puisqu'un énoncé conditionnel et son contrapositif sont logiquement équivalents, nous pouvons l'utiliser à notre avantage lorsque nous prouvons des théorèmes mathématiques. Plutôt que de prouver directement la vérité d'une déclaration conditionnelle, nous pouvons plutôt utiliser la stratégie de preuve indirecte consistant à prouver la vérité de la contraposition de cette déclaration. Les preuves contrapositives fonctionnent parce que si la contrapositive est vraie, en raison de l'équivalence logique, l'énoncé conditionnel d'origine est également vrai.

Il s'avère que même si l'inverse et l'inverse ne sont pas logiquement équivalents à l'énoncé conditionnel d'origine, ils sont logiquement équivalents l'un à l'autre. Il y a une explication facile à cela. Nous commençons par la déclaration conditionnelle «Si Q ensuite P". Le contrapositive de cette déclaration est «sinon P alors non Q.»Puisque l'inverse est la contrapositive de l'inverse, l'inverse et l'inverse sont logiquement équivalents.