Que signifie l'unité en mathématiques?

Le mot unité porte de nombreuses significations dans la langue anglaise, mais il est peut-être mieux connu pour sa définition la plus simple et directe, qui est «l'état d'être un; l'unité». Alors que le mot porte sa propre signification unique dans le domaine des mathématiques, l'usage unique ne s'éloigne pas trop, du moins symboliquement, de cette définition. En fait, en mathématiques, unité est simplement un synonyme du nombre "un" (1), l'entier entre les entiers zéro (0) et deux (2).

Le numéro un (1) représente une seule entité et c'est notre unité de comptage. C'est le premier nombre non nul de nos nombres naturels, qui sont les nombres utilisés pour compter et ordonner, et le premier de nos entiers positifs ou nombres entiers. Le nombre 1 est également le premier nombre impair des nombres naturels.

Le numéro un (1) porte en fait plusieurs noms, l'unité n'étant que l'un d'entre eux. Le nombre 1 est également connu sous le nom d'unité, d'identité et d'identité multiplicative.

L'unité comme élément d'identité

L'unité, ou le numéro un, représente également un élément d'identité, c'est-à-dire que lorsqu'il est combiné avec un autre nombre dans une certaine opération mathématique, le nombre combiné avec l'identité reste inchangé. Par exemple, dans l'ajout de nombres réels, zéro (0) est un élément d'identité car tout nombre ajouté à zéro reste inchangé (par exemple, a + 0 = a et 0 + a = a). L'unité, ou un, est également un élément d'identité lorsqu'elle est appliquée à des équations de multiplication numériques, car tout nombre réel multiplié par l'unité reste inchangé (par exemple, a x 1 = a et 1 x a = a). C'est à cause de cette caractéristique unique de l'unité que l'on appelle l'identité multiplicative.

Les éléments d'identité sont toujours leur propre factorielle, c'est-à-dire que le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à l'unité (1) est l'unité (1). Les éléments d'identité comme l'unité sont également toujours leur propre carré, cube, etc. C'est-à-dire que l'unité au carré (1 ^ 2) ou au cube (1 ^ 3) est égale à l'unité (1).

La signification de "racine de l'unité" 

La racine de l'unité se réfère à l'état dans lequel pour tout entier n, le nracine d'un nombre k est un nombre qui, multiplié par lui-même n fois, donne le nombre k. Une racine d'unité, en termes plus simples, n'importe quel nombre qui, multiplié par lui-même, un certain nombre de fois, est toujours égal à 1. Par conséquent, un ne racine de l'unité est un nombre quelconque k qui satisfait l'équation suivante:

k ^ n  = 1 (k à la ne puissance est égale à 1), où n est un entier positif.

Les racines de l'unité sont aussi parfois appelées nombres de Moivre, d'après le mathématicien français Abraham de Moivre. Les racines de l'unité sont traditionnellement utilisées dans les branches des mathématiques comme la théorie des nombres.

Lorsque l'on considère les nombres réels, les deux seuls qui correspondent à cette définition des racines de l'unité sont les nombres un (1) et négatif (-1). Mais le concept de racine d'unité n'apparaît généralement pas dans un contexte aussi simple. Au lieu de cela, la racine de l'unité devient un sujet de discussion mathématique lorsqu'il s'agit de nombres complexes, qui sont ces nombres qui peuvent être exprimés sous la forme une + bi, où une et b sont des nombres réels et je est la racine carrée d'un négatif (-1) ou d'un nombre imaginaire. En fait, le nombre je est lui-même aussi une racine d'unité.