Quelle est la différence de deux ensembles dans la théorie des ensembles?
Share
La différence de deux ensembles, écrite UNE - B est l'ensemble de tous les éléments de UNE qui ne sont pas des éléments de B. L'opération de différence, avec l'union et l'intersection, est une opération de théorie des ensembles importante et fondamentale.
Description de la différence
La soustraction d'un nombre d'un autre peut être envisagée de différentes manières. Un modèle pour aider à comprendre ce concept est appelé le modèle de soustraction à emporter. En cela, le problème 5 - 2 = 3 serait démontré en commençant par cinq objets, en en retirant deux et en comptant qu'il en restait trois. De la même manière que nous trouvons la différence entre deux nombres, nous pouvons trouver la différence de deux ensembles.
Un exemple
Nous allons voir un exemple de la différence définie. Pour voir comment la différence de deux ensembles forme un nouvel ensemble, considérons les ensembles UNE = 1, 2, 3, 4, 5 et B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Pour trouver la différence UNE - B de ces deux ensembles, nous commençons par écrire tous les éléments de UNE, puis enlevez chaque élément de UNE c'est aussi un élément de B. Puisque UNE partage les éléments 3, 4 et 5 avec B, cela nous donne la différence définie UNE - B = 1, 2.
L'ordre est important
Tout comme les différences 4 - 7 et 7 - 4 nous donnent des réponses différentes, nous devons faire attention à l'ordre dans lequel nous calculons la différence définie. Pour utiliser un terme technique issu des mathématiques, nous dirions que l'opération d'ensemble de la différence n'est pas commutative. Cela signifie qu'en général, nous ne pouvons pas changer l'ordre de la différence de deux ensembles et attendre le même résultat. On peut dire plus précisément que pour tous les ensembles UNE et B, UNE - B n'est pas égal à B - UNE.
Pour voir cela, reportez-vous à l'exemple ci-dessus. Nous avons calculé que pour les ensembles UNE = 1, 2, 3, 4, 5 et B = 3, 4, 5, 6, 7, 8, la différence UNE - B = 1, 2. Pour comparer cela à B - UNE, nous commençons par les éléments de B, qui sont 3, 4, 5, 6, 7, 8, puis supprimez le 3, le 4 et le 5 car ils sont communs avec UNE. Le résultat est B - UNE = 6, 7, 8. Cet exemple nous montre clairement que UN B n'est pas égal à B - A.
Le complément
Une sorte de différence est suffisamment importante pour justifier son nom et son symbole spéciaux. C'est ce qu'on appelle le complément, et il est utilisé pour la différence d'ensemble lorsque le premier ensemble est l'ensemble universel. Le complément de UNE est donné par l'expression U - UNE. Il s'agit de l'ensemble de tous les éléments de l'ensemble universel qui ne sont pas des éléments de UNE. Puisqu'il est entendu que l'ensemble des éléments que nous pouvons choisir sont tirés de l'ensemble universel, nous pouvons simplement dire que le complément de UNE est l'ensemble composé d'éléments qui ne sont pas des éléments de UNE.
Le complément d'un ensemble est relatif à l'ensemble universel avec lequel nous travaillons. Avec UNE = 1, 2, 3 et U = 1, 2, 3, 4, 5, le complément de UNE est 4, 5. Si notre ensemble universel est différent, disons U = -3, -2, 0, 1, 2, 3, puis le complément de UNE -3, -2, -1, 0. Assurez-vous toujours de faire attention à l'ensemble universel utilisé.
Notation pour le complément
Le mot "complément" commence par la lettre C, donc il est utilisé dans la notation. Le complément de l'ensemble UNE s'écrit UNEC. On peut donc exprimer la définition du complément en symboles comme: UNEC = U - UNE.
Une autre façon couramment utilisée pour désigner le complément d'un ensemble implique une apostrophe et est écrite comme UNE".
Autres identités impliquant la différence et les compléments
Il existe de nombreuses identités d'ensemble qui impliquent l'utilisation des opérations de différence et de complément. Certaines identités combinent d'autres opérations d'ensemble telles que l'intersection et l'union. Quelques-uns des plus importants sont indiqués ci-dessous. Pour tous les ensembles UNE, et B et ré on a:
- UNE - UNE = ∅
- UNE - ∅ = UNE
- ∅ - UNE = ∅
- UNE - U = ∅
- (UNEC)C = UNE
- Loi I de DeMorgan: (UNE ∩ B)C = UNEC ∪ BC
- Loi II de DeMorgan: (UNE ∪ B)C = UNEC ∩ BC
