Qu'est-ce que le Power Set?

Une question dans la théorie des ensembles est de savoir si un ensemble est un sous-ensemble d'un autre ensemble. Un sous-ensemble de UNE est un ensemble qui est formé en utilisant certains des éléments de l'ensemble UNE. Pour B être un sous-ensemble de UNE, chaque élément de B doit également être un élément de UNE.

Chaque ensemble a plusieurs sous-ensembles. Il est parfois souhaitable de connaître tous les sous-ensembles possibles. Une construction connue sous le nom de jeu de puissance aide à cet effort. L'ensemble de puissance de l'ensemble UNE est un ensemble avec des éléments qui sont également des ensembles. Cet ensemble de puissance formé en incluant tous les sous-ensembles d'un ensemble donné UNE.

Exemple 1

Nous considérerons deux exemples de jeux de puissance. Pour le premier, si on commence par l'ensemble UNE = 1, 2, 3, alors quelle est la puissance réglée? Nous continuons en répertoriant tous les sous-ensembles de UNE.

L'ensemble vide est un sous-ensemble de UNE. En effet, l'ensemble vide est un sous-ensemble de chaque ensemble. C'est le seul sous-ensemble sans éléments de UNE.
Les ensembles 1, 2, 3 sont les seuls sous-ensembles de UNE avec un élément.
Les ensembles 1, 2, 1, 3, 2, 3 sont les seuls sous-ensembles de UNE avec deux éléments.
Chaque ensemble est un sous-ensemble de lui-même. Donc UNE = 1, 2, 3 est un sous-ensemble de UNE. C'est le seul sous-ensemble à trois éléments.

UNE UNE UNE

Exemple 2

Pour le deuxième exemple, nous considérerons l'ensemble de puissance de B = 1, 2, 3, 4. Une grande partie de ce que nous avons dit ci-dessus est similaire, sinon identique maintenant:

L'ensemble vide et B sont les deux sous-ensembles.
Puisqu'il y a quatre éléments de B, il existe quatre sous-ensembles avec un élément: 1, 2, 3, 4.
Étant donné que chaque sous-ensemble de trois éléments peut être formé en éliminant un élément de B et il y a quatre éléments, il y a quatre sous-ensembles: 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4.
Reste à déterminer les sous-ensembles à deux éléments. Nous formons un sous-ensemble de deux éléments choisis parmi un ensemble de 4. Ceci est une combinaison et il y a C (4, 2) = 6 de ces combinaisons. Les sous-ensembles sont: 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4.

B B

Notation

Il y a deux façons dont l'ensemble de puissance d'un ensemble UNE est noté. Une façon de le signaler est d'utiliser le symbole P( UNE), où parfois cette lettre P est écrit avec un script stylisé. Une autre notation pour l'ensemble de puissance de UNE est 2^UNE. Cette notation est utilisée pour connecter l'ensemble d'alimentation au nombre d'éléments dans l'ensemble d'alimentation.

Taille de l'ensemble d'alimentation

Nous examinerons cette notation plus en détail. Si UNE est un ensemble fini avec n éléments, puis son jeu de puissance P (A ) aura 2ⁿ éléments. Si nous travaillons avec un ensemble infini, il n'est pas utile de penser à 2ⁿ éléments. Cependant, un théorème de Cantor nous dit que la cardinalité d'un ensemble et son ensemble de puissance ne peuvent pas être les mêmes.

C'était une question ouverte en mathématiques si la cardinalité de l'ensemble de puissance d'un ensemble dénombrable infini correspond à la cardinalité des réels. La résolution de cette question est assez technique, mais dit que nous pouvons choisir de faire cette identification des cardinalités ou non. Les deux conduisent à une théorie mathématique cohérente.

Ensembles de puissance en probabilité

Le sujet de la probabilité est basé sur la théorie des ensembles. Au lieu de faire référence à des ensembles et sous-ensembles universels, nous parlons plutôt d'échantillons d'espaces et d'événements. Parfois, lorsque nous travaillons avec un espace échantillon, nous souhaitons déterminer les événements de cet espace échantillon. L'ensemble de puissance de l'espace d'échantillonnage que nous avons nous donnera tous les événements possibles.

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