Quelle est l'asymétrie d'une distribution exponentielle?

Les paramètres communs pour la distribution de probabilité incluent la moyenne et l'écart type. La moyenne donne une mesure du centre et l'écart type indique l'étalement de la distribution. En plus de ces paramètres bien connus, il y en a d'autres qui attirent l'attention sur des caractéristiques autres que la propagation ou le centre. L'une de ces mesures est celle de l'asymétrie. L'asymétrie permet d'attacher une valeur numérique à l'asymétrie d'une distribution.

Une distribution importante que nous examinerons est la distribution exponentielle. Nous verrons comment prouver que l'asymétrie d'une distribution exponentielle est 2.

Fonction de densité de probabilité exponentielle

Nous commençons par énoncer la fonction de densité de probabilité pour une distribution exponentielle. Ces distributions ont chacune un paramètre, qui est lié au paramètre du processus de Poisson associé. Nous désignons cette distribution par Exp (A), où A est le paramètre. La fonction de densité de probabilité pour cette distribution est:

F(X) = e^-X/UNE/ A, où X est non négatif.

Ici e est la constante mathématique e cela représente environ 2,718281828. La moyenne et l'écart-type de la distribution exponentielle Exp (A) sont tous deux liés au paramètre A. En fait, la moyenne et l'écart-type sont tous deux égaux à A.

Définition de l'asymétrie

L'asymétrie est définie par une expression liée au troisième moment de la moyenne. Cette expression est la valeur attendue:

E [(X - μ)³/ σ³] = (E [X³] - 3 μE [X²] + 3μ²E [X] - μ³) / σ³ = (E [X³] - 3μ (σ² - μ³) / σ³.

Nous remplaçons μ et σ par A, et le résultat est que l'asymétrie est E [X³] / UNE³ - 4.

Il ne reste plus qu'à calculer le troisième moment sur l'origine. Pour cela, nous devons intégrer les éléments suivants:

∫^∞₀ X ³ F(X) réX.

Cette intégrale a une infinité pour l'une de ses limites. Ainsi, il peut être évalué comme une intégrale impropre de type I. Nous devons également déterminer quelle technique d'intégration utiliser. Puisque la fonction à intégrer est le produit d'une fonction polynomiale et exponentielle, nous aurions besoin d'utiliser l'intégration par parties. Cette technique d'intégration est appliquée plusieurs fois. Le résultat final est que:

EX³] = 6A³

Nous combinons ensuite cela avec notre équation précédente pour l'asymétrie. Nous voyons que l'asymétrie est de 6 à 4 = 2.

Implications

Il est important de noter que le résultat est indépendant de la distribution exponentielle spécifique avec laquelle nous commençons. L'asymétrie de la distribution exponentielle ne dépend pas de la valeur du paramètre A.

De plus, nous constatons que le résultat est une asymétrie positive. Cela signifie que la distribution est asymétrique vers la droite. Cela ne devrait pas surprendre lorsque nous pensons à la forme du graphique de la fonction de densité de probabilité. Toutes ces distributions ont une ordonnée à l'origine comme 1 // thêta et une queue qui va à l'extrême droite du graphique, correspondant à des valeurs élevées de la variable X.