Quels sont les moments dans les statistiques?

Les moments de la statistique mathématique impliquent un calcul de base. Ces calculs peuvent être utilisés pour trouver la moyenne, la variance et l'asymétrie d'une distribution de probabilité.

Supposons que nous ayons un ensemble de données avec un total de n points discrets. Un calcul important, qui est en fait plusieurs nombres, est appelé le se moment. le se moment de l'ensemble de données avec des valeurs X₁, X₂, X₃,… , X_n est donné par la formule:

(X₁^s + X₂^s + X₃^s +… + X_n^s) /n

L'utilisation de cette formule nous oblige à être prudent avec notre ordre des opérations. Nous devons d'abord faire les exposants, ajouter, puis diviser cette somme par n le nombre total de valeurs de données.

Une note sur le terme «moment»

Le terme moment a été emprunté à la physique. En physique, le moment d'un système de masses ponctuelles est calculé avec une formule identique à celle ci-dessus, et cette formule est utilisée pour trouver le centre de masse des points. En statistiques, les valeurs ne sont plus des masses, mais comme nous le verrons, les moments en statistiques mesurent encore quelque chose par rapport au centre des valeurs.

Premier moment

Pour le premier moment, nous avons mis s = 1. La formule du premier instant est donc:

(X₁X₂ + X₃ +… + X_n) /n

Ceci est identique à la formule de la moyenne de l'échantillon.

Le premier moment des valeurs 1, 3, 6, 10 est (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Deuxième moment

Pour le deuxième moment, nous avons mis s = 2. La formule du deuxième moment est:

(X₁² + X₂² + X₃² +… + X_n²) /n

Le deuxième moment des valeurs 1, 3, 6, 10 est (1² + 3² + 6² + dix²) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100) / 4 = 146/4 = 36,5.

Troisième moment

Pour le troisième moment, nous avons mis s = 3. La formule du troisième moment est:

(X₁³ + X₂³ + X₃³ +… + X_n³) /n

Le troisième moment des valeurs 1, 3, 6, 10 est (1³ + 3³ + 6³ + dix³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000) / 4 = 1244/4 = 311.

Les moments plus élevés peuvent être calculés de manière similaire. Il suffit de remplacer s dans la formule ci-dessus avec le nombre indiquant le moment souhaité.

Moments sur la moyenne

Une idée connexe est celle du se moment sur la moyenne. Dans ce calcul, nous effectuons les étapes suivantes:

1. Tout d'abord, calculez la moyenne des valeurs.
2. Ensuite, soustrayez cette moyenne de chaque valeur.
3. Relevez ensuite chacune de ces différences au se puissance.
4. Ajoutez maintenant les nombres de l'étape 3 ensemble.
5. Enfin, divisez cette somme par le nombre de valeurs avec lesquelles nous avons commencé.

La formule du se moment sur la moyenne m des valeurs valeurs X₁, X₂, X₃,… , X_n est donné par:

m_s = ((X₁ - m)^s + (X₂ - m)^s + (X₃ - m)^s +… + (X_n - m)^s) /n

Premier moment sur la moyenne

Le premier moment concernant la moyenne est toujours égal à zéro, quel que soit l'ensemble de données avec lequel nous travaillons. Cela peut être vu dans ce qui suit:

m₁ = ((X₁ - m) + (X₂ - m) + (X₃ - m) +… + (X_n - m)) /n = ((X₁+ X₂ + X₃ +… + X_n) - nm) /n = m - m = 0.

Deuxième moment sur la moyenne

Le deuxième moment de la moyenne est obtenu à partir de la formule ci-dessus en définissants = 2:

m₂ = ((X₁ - m)² + (X₂ - m)² + (X₃ - m)² +… + (X_n - m)²) /n

Cette formule est équivalente à celle de la variance de l'échantillon.

Par exemple, considérons l'ensemble 1, 3, 6, 10. Nous avons déjà calculé la moyenne de cet ensemble à 5. Soustrayez cela de chacune des valeurs de données pour obtenir des différences de:

• 1 - 5 = -4
• 3 - 5 = -2
• 6 - 5 = 1
• 10 - 5 = 5

Nous cadrons chacune de ces valeurs et les additionnons ensemble: (-4)² + (-2)² + 1² + 5² = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Enfin, divisez ce nombre par le nombre de points de données: 46/4 = 11,5

Applications des moments

Comme mentionné ci-dessus, le premier moment est la moyenne et le deuxième moment autour de la moyenne est la variance de l'échantillon. Karl Pearson a présenté l'utilisation du troisième moment sur la moyenne dans le calcul de l'asymétrie et du quatrième moment sur la moyenne dans le calcul de la kurtosis.