Quelle est l'inégalité de Markov?

L'inégalité de Markov est un résultat utile de probabilité qui donne des informations sur une distribution de probabilité. L'aspect remarquable à ce sujet est que l'inégalité vaut pour toute distribution avec des valeurs positives, quelles que soient ses autres caractéristiques. L'inégalité de Markov donne une limite supérieure pour le pourcentage de la distribution qui est au-dessus d'une valeur particulière.

Déclaration sur l'inégalité de Markov

L'inégalité de Markov dit que pour une variable aléatoire positive X et tout nombre réel positif une, la probabilité que X est supérieur ou égal à une est inférieur ou égal à la valeur attendue de X divisé par une.

La description ci-dessus peut être énoncée plus succinctement en utilisant la notation mathématique. En symboles, nous écrivons l'inégalité de Markov comme:

P (X ≥ une) ≤ E( X) /une

Illustration de l'inégalité

Pour illustrer l'inégalité, supposons que nous ayons une distribution avec des valeurs non négatives (comme une distribution khi-deux). Si cette variable aléatoire X a une valeur attendue de 3, nous allons examiner les probabilités pour quelques valeurs de une.

• Pour une = 10 L'inégalité de Markov dit que P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Il y a donc une probabilité de 30% que X est supérieur à 10.
• Pour une = 30 L'inégalité de Markov dit que P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Il y a donc une probabilité de 10% que X est supérieur à 30.
• Pour une = 3 L'inégalité de Markov dit que P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Les événements avec une probabilité de 1 = 100% sont certains. Cela signifie donc qu'une certaine valeur de la variable aléatoire est supérieure ou égale à 3. Cela ne devrait pas être trop surprenant. Si toutes les valeurs de X étaient inférieurs à 3, la valeur attendue serait également inférieure à 3.
• Comme la valeur de une augmente, le quotient E(X) /une deviendra de plus en plus petit. Cela signifie que la probabilité est très faible que X est très, très grand. Encore une fois, avec une valeur attendue de 3, nous ne nous attendrions pas à ce qu'il y ait une grande partie de la distribution avec des valeurs très grandes.

Utilisation de l'inégalité

Si nous en savons plus sur la distribution avec laquelle nous travaillons, nous pouvons généralement améliorer l'inégalité de Markov. La valeur de son utilisation est qu'il est valable pour toute distribution avec des valeurs non négatives.

Par exemple, si nous connaissons la taille moyenne des élèves d'une école primaire. L'inégalité de Markov nous dit que pas plus d'un sixième des élèves peuvent avoir une hauteur supérieure à six fois la taille moyenne.

L'autre utilisation majeure de l'inégalité de Markov est de prouver l'inégalité de Tchebychev. De ce fait, le nom «inégalité de Tchebychev» est également appliqué à l'inégalité de Markov. La confusion de la dénomination des inégalités est également due à des circonstances historiques. Andrey Markov était l'élève de Pafnuty Chebyshev. Le travail de Chebyshev contient l'inégalité attribuée à Markov.