L'histoire de l'algèbre

Différentes dérivations du mot «algèbre», qui est d'origine arabe, ont été données par différents auteurs. La première mention de ce mot se trouve dans le titre d'une œuvre de Mahommed ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), qui s'est épanouie vers le début du IXe siècle. Le titre complet est ilm al-jebr wa'l-muqabala, qui contient les idées de restitution et de comparaison, ou d'opposition et de comparaison, ou de résolution et d'équation, jebr dérivé du verbe jabara, de se réunir, et muqabala, de Gabala, faire égal. (La racine jabara est également rencontré dans le mot algebrista, ce qui signifie un "os-setter", et est encore couramment utilisé en Espagne.) La même dérivation est donnée par Lucas Paciolus (Luca Pacioli), qui reproduit la phrase sous la forme translittérée alghebra e almucabala, et attribue l'invention de l'art aux Arabes.

D'autres auteurs ont dérivé le mot de la particule arabe Al (l'article défini), et gerber, ce qui signifie «homme». Cependant, comme Geber était le nom d'un célèbre philosophe maure qui a prospéré vers le 11e ou le 12e siècle, il a été supposé qu'il était le fondateur de l'algèbre, qui a depuis perpétué son nom. Le témoignage de Peter Ramus (1515-1572) sur ce point est intéressant, mais il ne donne aucune autorité pour ses déclarations singulières. Dans la préface de son Arithmeticae libri duo et totidem Algebrae (1560) il dit: "Le nom d'Algèbre est Syriaque, signifiant l'art ou la doctrine d'un excellent homme. Pour Geber, en Syriaque, est un nom appliqué aux hommes, et est parfois un terme d'honneur, en tant que maître ou docteur parmi nous Il y avait un certain savant mathématicien qui a envoyé son algèbre, écrite en langue syriaque, à Alexandre le Grand, et il l'a nommé almucabala, c'est-à-dire le livre des choses obscures ou mystérieuses, que d'autres préfèrent appeler la doctrine de l'algèbre. À ce jour, le même livre est en grande estime parmi les savants des nations orientales, et par les Indiens, qui cultivent cet art, il est appelé aljabra et alboret; bien que le nom de l'auteur lui-même ne soit pas connu. "L'autorité incertaine de ces déclarations, et la plausibilité de l'explication précédente, ont amené les philologues à accepter la dérivation de Al et jabara. Robert Recorde dans son Pierre à aiguiser de Witte (1557) utilise la variante Algèbre, tandis que John Dee (1527-1608) affirme que algiebar, et pas algèbre, est la forme correcte et fait appel à l'autorité de l'Avicenne arabe.

Bien que le terme «algèbre» soit maintenant utilisé de manière universelle, diverses autres appellations ont été utilisées par les mathématiciens italiens à la Renaissance. Ainsi, nous trouvons Paciolus l'appeler l'Arte Magiore; ditta dal vulgo la Regula de la Cosa sur Alghebra e Almucabala. Le nom l'arte magiore, le plus grand art, est conçu pour le distinguer de l'arte minore, l'art mineur, un terme qu'il a appliqué à l'arithmétique moderne. Sa deuxième variante, la regula de la cosa, la règle de la chose ou quantité inconnue, semble avoir été couramment utilisé en Italie, et le mot cosa a été préservée pendant plusieurs siècles sous les formes coss ou algèbre, cossique ou algébrique, cossiste ou algèbre, & c. D'autres écrivains italiens l'ont appelé le Regula rei et recensement, la règle de la chose et du produit, ou la racine et le carré. Le principe sous-jacent à cette expression se trouve probablement dans le fait qu'elle a mesuré les limites de leurs réalisations en algèbre, car ils n'ont pas pu résoudre des équations d'un degré plus élevé que le quadratique ou le carré.

Franciscus Vieta (François Viete) l'a nommé Arithmétique spécieuse, en raison de l'espèce des quantités concernées, qu'il représentait symboliquement par les différentes lettres de l'alphabet. Sir Isaac Newton a introduit le terme d'arithmétique universelle, car il concerne la doctrine des opérations, non pas affectée par les nombres, mais par les symboles généraux.

En dépit de ces appellations idiosyncratiques et d'autres, les mathématiciens européens ont adhéré à l'ancien nom, par lequel le sujet est désormais universellement connu..

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Il est difficile d'attribuer l'invention d'un art ou d'une science à un âge ou à une race en particulier. Les quelques archives fragmentaires, qui nous sont parvenues des civilisations passées, ne doivent pas être considérées comme représentant la totalité de leurs connaissances, et l'omission d'une science ou d'un art n'implique pas nécessairement que la science ou l'art était inconnu. Il était autrefois de coutume d'attribuer l'invention de l'algèbre aux Grecs, mais depuis le déchiffrement du papyrus de Rhind par Eisenlohr, ce point de vue a changé, car dans ce travail il y a des signes distincts d'une analyse algébrique. Le problème particulier --- un tas (hau) et son septième fait 19 --- est résolu car nous devons maintenant résoudre une équation simple; mais Ahmes varie ses méthodes dans d'autres problèmes similaires. Cette découverte ramène l'invention de l'algèbre à environ 1700 av..

Il est probable que l'algèbre des Égyptiens était de nature très rudimentaire, car sinon nous devrions nous attendre à en trouver des traces dans les travaux des aéomètres grecs. dont Thales de Milet (640-546 av.J.-C.) fut le premier. Malgré la prolixité des écrivains et le nombre d'écrits, toutes les tentatives d'extraire une analyse algébrique de leurs théorèmes et problèmes géométriques ont été infructueuses, et il est généralement admis que leur analyse était géométrique et avait peu ou pas d'affinité avec l'algèbre. Le premier ouvrage existant qui se rapproche d'un traité sur l'algèbre est de Diophantus (qv), un mathématicien alexandrin, qui a prospéré vers 350 après JC. L'original, qui comprenait une préface et treize livres, est maintenant perdu, mais nous avons une traduction latine des six premiers livres et un fragment d'un autre sur les nombres polygonaux par Xylander d'Augsbourg (1575), et traductions latines et grecques par Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). D'autres éditions ont été publiées, dont on peut citer celles de Pierre Fermat (1670), T. L. Heath (1885) et P. Tannery's (1893-1895). Dans la préface de cet ouvrage, consacré à un Denys, Diophantus explique sa notation, nommant le carré, le cube et les quatrièmes puissances, dynamis, cubus, dynamodinimus, etc., selon la somme des indices. L'inconnu qu'il nomme arithmos, le nombre, et dans les solutions il le marque par le s final; il explique la génération de pouvoirs, les règles de multiplication et de division des quantités simples, mais il ne traite pas de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division des quantités composées. Il aborde ensuite divers artifices pour la simplification des équations, donnant des méthodes qui sont encore couramment utilisées. Dans le corps de l'ouvrage, il fait preuve d'une ingéniosité considérable pour réduire ses problèmes à de simples équations, qui admettent soit une solution directe, soit entrent dans la classe des équations indéterminées. Cette dernière classe, il a discuté si assidûment qu'ils sont souvent connus sous le nom de problèmes diophantiens, et les méthodes pour les résoudre comme l'analyse diophantienne (voir ÉQUATION, indéterminée.) Il est difficile de croire que ce travail de Diophantus a surgi spontanément dans une période de général stagnation. Il est plus que probable qu'il était redevable à des écrivains antérieurs, qu'il omet de mentionner et dont les œuvres sont aujourd'hui perdues; néanmoins, mais pour ce travail, nous devons être amenés à supposer que l'algèbre était presque, sinon entièrement, inconnue des Grecs.

Les Romains, qui ont succédé aux Grecs en tant que principale puissance civilisée en Europe, n'ont pas réussi à mettre de côté leurs trésors littéraires et scientifiques; les mathématiques étaient presque négligées; et au-delà de quelques améliorations dans les calculs arithmétiques, il n'y a pas d'avancées significatives à enregistrer.

Dans le développement chronologique de notre sujet, nous devons maintenant nous tourner vers l'Orient. L'enquête sur les écrits des mathématiciens indiens a montré une distinction fondamentale entre l'esprit grec et indien, le premier étant avant tout géométrique et spéculatif, le second arithmétique et principalement pratique. Nous constatons que la géométrie a été négligée sauf dans la mesure où elle était au service de l'astronomie; la trigonométrie a été avancée et l'algèbre s'est améliorée bien au-delà des réalisations de Diophantus.

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Le premier mathématicien indien dont nous avons certaines connaissances est Aryabhatta, qui a prospéré au début du 6ème siècle de notre ère. La renommée de cet astronome et mathématicien repose sur son travail, le Aryabhattiyam, dont le troisième chapitre est consacré aux mathématiques. Ganessa, un éminent astronome, mathématicien et scholiaste de Bhaskara, cite ce travail et mentionne séparément le cuttaca ("pulveriser"), un dispositif pour effectuer la solution d'équations indéterminées. Henry Thomas Colebrooke, l'un des premiers chercheurs modernes de la science hindoue, suppose que le traité d'Aryabhatta s'étendait aux équations quadratiques déterminées, aux équations indéterminées du premier degré et probablement du second. Un travail astronomique, appelé Surya-siddhanta ("connaissance du Soleil"), de paternité incertaine et appartenant probablement au 4e ou 5e siècle, a été considérée comme très valable par les hindous, qui l'ont classée seulement deuxième après les travaux de Brahmagupta, qui a prospéré environ un siècle plus tard. Il est d'un grand intérêt pour l'étudiant en histoire, car il montre l'influence de la science grecque sur les mathématiques indiennes à une période antérieure à Aryabhatta. Après un intervalle d'environ un siècle, au cours duquel les mathématiques ont atteint leur plus haut niveau, Brahmagupta (né en 598) a prospéré, dont l'ouvrage intitulé Brahma-sphuta-siddhanta (<< Le système révisé de Brahma >>) contient plusieurs chapitres consacrés aux mathématiques. Parmi les autres écrivains indiens, on peut citer Cridhara, l'auteur d'une Ganita-sara ("Quintessence du calcul"), et Padmanabha, l'auteur d'une algèbre.

Une période de stagnation mathématique semble alors avoir possédé l'esprit indien pendant un intervalle de plusieurs siècles, car les travaux du prochain auteur de tout moment se tiennent mais peu en avance sur Brahmagupta. Nous nous référons à Bhaskara Acarya, dont le travail Siddhanta-ciromani ("Diadème du système anastronomique"), écrit en 1150, contient deux chapitres importants, les Lilavati ("la belle [science ou art]") et Viga-ganita ("extraction des racines"), qui sont abandonnés à l'arithmétique et algèbre.

Traductions en anglais des chapitres mathématiques du Brahma-siddhanta et Siddhanta-ciromani par H. T. Colebrooke (1817), et du Surya-siddhanta par E. Burgess, avec annotations de W. D. Whitney (1860), peut être consulté pour plus de détails.

La question de savoir si les Grecs ont emprunté leur algèbre aux Hindous ou vice versa a fait l'objet de nombreuses discussions. Il n'y a pas de doute qu'il y avait un trafic constant entre la Grèce et l'Inde, et il est plus que probable qu'un échange de produits s'accompagnerait d'un transfert d'idées. Moritz Cantor soupçonne l'influence des méthodes diophantiennes, plus particulièrement dans les solutions hindoues d'équations indéterminées, où certains termes techniques sont, selon toute probabilité, d'origine grecque. Quoi qu'il en soit, il est certain que les algèbres hindous étaient bien en avance sur Diophantus. Les lacunes du symbolisme grec ont été partiellement corrigées; la soustraction a été indiquée en plaçant un point sur le sous-trait; multiplication, en plaçant bha (une abréviation de bhavita, le "produit") après le factom; division, en plaçant le diviseur sous le dividende; et racine carrée, en insérant ka (une abréviation de karana, irrationnel) avant la quantité. L'inconnu s'appelait yavattavat, et s'il y en avait plusieurs, le premier prenait cette appellation, et les autres étaient désignés par les noms des couleurs; par exemple, x était désigné par ya et y par ka (de Kalaka, noir).

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Une amélioration notable des idées de Diophantus réside dans le fait que les Hindous ont reconnu l'existence de deux racines d'une équation quadratique, mais les racines négatives ont été jugées inadéquates, car aucune interprétation n'a pu être trouvée pour elles. On suppose également qu'ils ont anticipé les découvertes des solutions d'équations supérieures. De grands progrès ont été réalisés dans l'étude des équations indéterminées, une branche d'analyse dans laquelle Diophantus excellait. Mais alors que Diophantus visait à obtenir une solution unique, les Hindous se sont efforcés de trouver une méthode générale permettant de résoudre tout problème indéterminé. En cela, ils ont complètement réussi, car ils ont obtenu des solutions générales pour les équations ax (+ ou -) par = c, xy = ax + par + c (depuis redécouvert par Leonhard Euler) et cy2 = ax2 + b. Un cas particulier de la dernière équation, à savoir y2 = ax2 + 1, a durement taxé les ressources des algèbres modernes. Il a été proposé par Pierre de Fermat à Bernhard Frenicle de Bessy, et en 1657 à tous les mathématiciens. John Wallis et Lord Brounker ont obtenu conjointement une solution fastidieuse qui a été publiée en 1658, puis en 1668 par John Pell dans son algèbre. Une solution a également été donnée par Fermat dans sa Relation. Bien que Pell n'ait rien à voir avec la solution, la postérité a appelé l'équation Pell's Equation, ou problème, alors que ce devrait être à juste titre le problème hindou, en reconnaissance des réalisations mathématiques des brahmanes..

Hermann Hankel a souligné la préparation avec laquelle les hindous sont passés du nombre à la magnitude et vice versa. Bien que cette transition du discontinu au continu ne soit pas vraiment scientifique, elle a cependant considérablement augmenté le développement de l'algèbre, et Hankel affirme que si nous définissons l'algèbre comme l'application d'opérations arithmétiques à des nombres ou des grandeurs rationnels et irrationnels, alors les Brahmanes sont les vrais inventeurs de l'algèbre.

L'intégration des tribus dispersées d'Arabie au 7ème siècle par l'agitation de la propagande religieuse de Mahomet s'est accompagnée d'une montée fulgurante des pouvoirs intellectuels d'une race jusque-là obscure. Les Arabes devinrent les gardiens de la science indienne et grecque, tandis que l'Europe était déchirée par des dissensions internes. Sous le règne des Abbassides, Bagdad est devenu le centre de la pensée scientifique; des médecins et des astronomes d'Inde et de Syrie affluent vers leur cour; Des manuscrits grecs et indiens ont été traduits (un ouvrage commencé par le calife Mamun (813-833) et habilement poursuivi par ses successeurs); et en un siècle environ, les Arabes furent mis en possession des vastes réserves de connaissances grecques et indiennes. Les Éléments d'Euclide ont d'abord été traduits sous le règne de Harun-al-Rashid (786-809), et révisés par l'ordre de Mamun. Mais ces traductions étaient considérées comme imparfaites, et il restait à Tobit ben Korra (836-901) de produire une édition satisfaisante. Ptolémée Almagest, les œuvres d'Apollonius, d'Archimède, de Diophantus et de portions de Brahmasiddhanta ont également été traduites. Le premier mathématicien arabe notable était Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, qui a prospéré sous le règne de Mamun. Son traité d'algèbre et d'arithmétique (dont la dernière partie n'existe que sous la forme d'une traduction latine, découverte en 1857) ne contient rien qui était inconnu des Grecs et des Hindous; il présente des méthodes alliées à celles des deux races, l'élément grec prédominant. La partie consacrée à l'algèbre a pour titre al-jeur wa'lmuqabala, et l'arithmétique commence par "Spoken has Algoritmi", le nom Khwarizmi ou Hovarezmi étant passé au mot Algoritmi, qui a été transformé en mots plus modernes algorism et algorithme, signifiant une méthode de calcul.

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Tobit ben Korra (836-901), né à Harran en Mésopotamie, un linguiste, mathématicien et astronome accompli, a rendu un service remarquable par ses traductions de divers auteurs grecs. Ses recherches sur les propriétés des nombres amiables (q.v.) et sur le problème de la trisection d'un angle sont importantes. Les Arabes ressemblaient plus aux Hindous qu'aux Grecs dans le choix des études; leurs philosophes ont mélangé des dissertations spéculatives avec l'étude plus progressive de la médecine; leurs mathématiciens ont négligé les subtilités des sections coniques et de l'analyse diophantienne, et se sont appliqués plus particulièrement à perfectionner le système des nombres (voir NUMÉRO), l'arithmétique et l'astronomie (qv…) Il en est ainsi arrivé alors que certains progrès ont été réalisés en algèbre, le les talents de la race ont été accordés à l'astronomie et à la trigonométrie (qv…) Fahri des al Karbi, qui a prospéré vers le début du XIe siècle, est l'auteur du plus important ouvrage arabe sur l'algèbre. Il suit les méthodes de Diophantus; son travail sur les équations indéterminées n'a aucune ressemblance avec les méthodes indiennes et ne contient rien qui ne puisse être recueilli auprès de Diophantus. Il a résolu des équations quadratiques à la fois géométriquement et algébriquement, ainsi que des équations de la forme x2n + axn + b = 0; il a également prouvé certaines relations entre la somme des n premiers nombres naturels et les sommes de leurs carrés et cubes.

Les équations cubiques ont été résolues géométriquement en déterminant les intersections des sections coniques. Le problème d'Archimède de diviser une sphère par un plan en deux segments ayant un rapport prescrit, a d'abord été exprimé par une équation cubique par Al Mahani, et la première solution a été donnée par Abu Gafar al Hazin. La détermination du côté d'un heptagone régulier qui peut être inscrit ou circonscrit à un cercle donné a été réduite à une équation plus compliquée qui a d'abord été résolue avec succès par Abul Gud. La méthode de résolution géométrique des équations a été considérablement développée par Omar Khayyam de Khorassan, qui a prospéré au 11ème siècle. Cet auteur s'est interrogé sur la possibilité de résoudre les cubiques par algèbre pure et les biquadratiques par géométrie. Sa première affirmation n'a été réfutée qu'au XVe siècle, mais sa seconde a été rejetée par Abul Weta (940-908), qui a réussi à résoudre les formes x4 = a et x4 + ax3 = b.

Bien que les fondements de la résolution géométrique des équations cubiques soient à attribuer aux Grecs (car Eutocius attribue à Menaechmus deux méthodes pour résoudre l'équation x3 = a et x3 = 2a3), mais le développement ultérieur par les Arabes doit être considéré comme un de leurs réalisations les plus importantes. Les Grecs avaient réussi à résoudre un exemple isolé; les Arabes ont accompli la solution générale des équations numériques.

Une attention considérable a été portée aux différents styles dans lesquels les auteurs arabes ont traité leur sujet. Moritz Cantor a suggéré qu'il existait à une époque deux écoles, l'une en sympathie avec les Grecs, l'autre avec les Hindous; et que, bien que les écrits de ce dernier aient été étudiés pour la première fois, ils ont été rapidement rejetés pour les méthodes grecques les plus perspicaces, de sorte que, parmi les derniers écrivains arabes, les méthodes indiennes étaient pratiquement oubliées et leurs mathématiques devenaient essentiellement de caractère grec..

Pour ce qui est des Arabes occidentaux, nous retrouvons le même esprit éclairé; Cordoue, capitale de l'empire maure en Espagne, était autant un centre d'apprentissage que Bagdad. Le premier mathématicien espagnol connu est Al Madshritti (d. 1007), dont la renommée repose sur une thèse sur les nombres amicaux et sur les écoles qui ont été fondées par ses élèves à Cordoya, Dama et Grenade. Gabir ben Allah de Séville, communément appelé Geber, était un astronome célèbre et apparemment qualifié en algèbre, car il a été supposé que le mot "algèbre" est composé de son nom.

Lorsque l'empire maure a commencé à décliner les brillants dons intellectuels qu'ils avaient si abondamment nourris pendant trois ou quatre siècles sont devenus affaiblis, et après cette période, ils n'ont pas réussi à produire un auteur comparable à ceux du 7e au 11e siècles..

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