Calculez un intervalle de confiance pour une moyenne lorsque vous connaissez Sigma

Dans les statistiques inférentielles, l'un des principaux objectifs est d'estimer un paramètre de population inconnu. Vous commencez avec un échantillon statistique, et à partir de cela, vous pouvez déterminer une plage de valeurs pour le paramètre. Cette plage de valeurs est appelée un intervalle de confiance.

Intervalles de confiance

Les intervalles de confiance se ressemblent tous à plusieurs égards. Premièrement, de nombreux intervalles de confiance bilatéraux ont la même forme:

Estimation ± Marge d'erreur

Deuxièmement, les étapes de calcul des intervalles de confiance sont très similaires, quel que soit le type d'intervalle de confiance que vous essayez de trouver. Le type spécifique d'intervalle de confiance qui sera examiné ci-dessous est un intervalle de confiance bilatéral pour une moyenne de population lorsque vous connaissez l'écart-type de la population. Supposons également que vous travaillez avec une population normalement répartie.

Intervalle de confiance pour une moyenne avec un sigma connu

Voici un processus pour trouver l'intervalle de confiance souhaité. Bien que toutes les étapes soient importantes, la première l'est particulièrement:

1. Vérifier les conditions: Commencez par vous assurer que les conditions de votre intervalle de confiance sont remplies. Supposons que vous connaissez la valeur de l'écart-type de la population, indiquée par la lettre grecque sigma σ. Supposons également une distribution normale.
2. Calculer une estimation: Estimer le paramètre de la population - dans ce cas, la moyenne de la population en utilisant une statistique, qui dans ce problème est la moyenne de l'échantillon. Cela implique de former un échantillon aléatoire simple à partir de la population. Parfois, vous pouvez supposer que votre échantillon est un simple échantillon aléatoire, même s'il ne répond pas à la définition stricte.
3. Valeur critique: Obtenir la valeur critique z^* cela correspond à votre niveau de confiance. Ces valeurs sont trouvées en consultant un tableau de z-scores ou en utilisant le logiciel. Vous pouvez utiliser un tableau de scores z car vous connaissez la valeur de l'écart-type de la population et vous supposez que la population est normalement distribuée. Les valeurs critiques communes sont 1,645 pour un niveau de confiance de 90%, 1,960 pour un niveau de confiance de 95% et 2,576 pour un niveau de confiance de 99%.
4. Marge d'erreur: Calculer la marge d'erreur z^* σ / √n, où n est la taille de l'échantillon aléatoire simple que vous avez formé.
5. Conclure: Terminez en rassemblant l'estimation et la marge d'erreur. Cela peut être exprimé comme Estimation ± Marge d'erreur ou comme Estimation - Marge d'erreur à Estimation + marge d'erreur. Assurez-vous d'indiquer clairement le niveau de confiance attaché à votre intervalle de confiance.

Exemple

Pour voir comment vous pouvez construire un intervalle de confiance, étudiez un exemple. Supposons que vous sachiez que les scores de QI de tous les étudiants de première année entrants sont normalement distribués avec un écart-type de 15. Vous avez un échantillon aléatoire simple de 100 étudiants de première année et le score de QI moyen pour cet échantillon est de 120. Trouvez un intervalle de confiance à 90% pour le score de QI moyen pour l'ensemble de la population des étudiants de première année entrants.

Suivez les étapes décrites ci-dessus:

1. Vérifier les conditions: Les conditions sont remplies depuis qu'on vous a dit que l'écart type de la population est de 15 et que vous avez affaire à une distribution normale.
2. Calculer une estimation: On vous a dit que vous avez un échantillon aléatoire simple de taille 100. Le QI moyen pour cet échantillon est de 120, c'est donc votre estimation.
3. Valeur critique: La valeur critique du niveau de confiance de 90% est donnée par z^* = 1,645.
4. Marge d'erreur: Utilisez la formule de la marge d'erreur et obtenez une erreur de z^* σ / √n = (1,645) (15) / √ (100) = 2,467.
5. Conclure: Concluez en mettant tout ensemble. Un intervalle de confiance à 90% pour le score de QI moyen de la population est de 120 ± 2,467. Alternativement, vous pouvez indiquer cet intervalle de confiance de 117,5325 à 122,4675.

Considérations pratiques

Les intervalles de confiance du type ci-dessus ne sont pas très réalistes. Il est très rare de connaître l'écart type de la population mais pas la moyenne de la population. Il existe des moyens de supprimer cette hypothèse irréaliste.

Bien que vous ayez supposé une distribution normale, cette hypothèse n'a pas besoin d'être vérifiée. De beaux échantillons, qui ne présentent pas de forte asymétrie ou présentent des valeurs aberrantes, ainsi qu'une taille d'échantillon suffisamment grande, vous permettent d'invoquer le théorème de la limite centrale. Par conséquent, vous êtes justifié d'utiliser un tableau de scores z, même pour les populations qui ne sont pas normalement distribuées.