Degrés de liberté pour l'indépendance des variables dans un tableau bidirectionnel

Le nombre de degrés de liberté pour l'indépendance de deux variables catégorielles est donné par une formule simple: (r - 1)(c - 1). Ici r est le nombre de lignes et c est le nombre de colonnes dans le tableau bidirectionnel des valeurs de la variable catégorielle. Lisez la suite pour en savoir plus sur ce sujet et pour comprendre pourquoi cette formule donne le bon nombre.

Contexte

Une étape dans le processus de nombreux tests d'hypothèses est la détermination du nombre de degrés de liberté. Ce nombre est important car pour les distributions de probabilités qui impliquent une famille de distributions, telles que la distribution du chi carré, le nombre de degrés de liberté indique la distribution exacte de la famille que nous devrions utiliser dans notre test d'hypothèse.

Les degrés de liberté représentent le nombre de choix libres que nous pouvons faire dans une situation donnée. L'un des tests d'hypothèse qui nous oblige à déterminer les degrés de liberté est le test d'indépendance du chi carré pour deux variables catégorielles.

Tests d'indépendance et tableaux bidirectionnels

Le test d'indépendance du chi carré nous oblige à construire une table bidirectionnelle, également connue sous le nom de table de contingence. Ce type de table a r lignes et c colonnes, représentant le r niveaux d'une variable catégorielle et la c niveaux de l'autre variable catégorielle. Ainsi, si nous ne comptons pas la ligne et la colonne dans lesquelles nous enregistrons les totaux, il y a un total de rc cellules du tableau bidirectionnel.

Le test d'indépendance du chi carré nous permet de tester l'hypothèse que les variables catégorielles sont indépendantes les unes des autres. Comme nous l'avons mentionné ci-dessus, r lignes et c les colonnes du tableau nous donnent (r - 1)(c - 1) degrés de liberté. Mais il n'est peut-être pas immédiatement clair pourquoi c'est le bon nombre de degrés de liberté.

Le nombre de degrés de liberté

Pour voir pourquoi (r - 1)(c - 1) est le nombre correct, nous examinerons cette situation plus en détail. Supposons que nous connaissions les totaux marginaux pour chacun des niveaux de nos variables catégorielles. En d'autres termes, nous connaissons le total pour chaque ligne et le total pour chaque colonne. Pour la première ligne, il y a c colonnes dans notre tableau, donc il y a c cellules. Une fois que nous connaissons les valeurs de toutes ces cellules sauf une, alors parce que nous connaissons le total de toutes les cellules, il est un problème d'algèbre simple de déterminer la valeur de la cellule restante. Si nous remplissions ces cellules de notre tableau, nous pourrions entrer c - 1 d'entre eux librement, mais la cellule restante est déterminée par le total de la ligne. Il y a donc c - 1 degrés de liberté pour la première rangée.

Nous continuons de cette manière pour la ligne suivante, et il y a encore c - 1 degrés de liberté. Ce processus se poursuit jusqu'à ce que nous arrivions à l'avant-dernière ligne. Chacune des lignes, à l'exception de la dernière, contribue c - 1 degrés de liberté au total. Au moment où nous avons tout sauf la dernière ligne, alors parce que nous connaissons la somme des colonnes, nous pouvons déterminer toutes les entrées de la dernière ligne. Cela nous donne r - 1 rangs avec c - 1 degré de liberté dans chacun d'eux, pour un total de (r - 1)(c - 1) degrés de liberté.

Exemple

Nous voyons cela avec l'exemple suivant. Supposons que nous ayons une table à deux voies avec deux variables catégorielles. Une variable a trois niveaux et l'autre en a deux. De plus, supposons que nous connaissions les totaux de ligne et de colonne pour ce tableau:

	Niveau A	Niveau B	Total
Niveau 1			100
Niveau 2			200
Niveau 3			300
Total	200	400	600

La formule prédit qu'il y a (3-1) (2-1) = 2 degrés de liberté. Nous voyons cela comme suit. Supposons que nous remplissions la cellule supérieure gauche avec le nombre 80. Cela déterminera automatiquement toute la première ligne d'entrées:

	Niveau A	Niveau B	Total
Niveau 1	80	20	100
Niveau 2			200
Niveau 3			300
Total	200	400	600

Maintenant, si nous savons que la première entrée de la deuxième ligne est 50, le reste du tableau est rempli, car nous connaissons le total de chaque ligne et colonne:

	Niveau A	Niveau B	Total
Niveau 1	80	20	100
Niveau 2	50	150	200
Niveau 3	70	230	300
Total	200	400	600

Le tableau est entièrement rempli, mais nous n'avions que deux choix gratuits. Une fois ces valeurs connues, le reste du tableau a été complètement déterminé.

Bien que nous n'ayons généralement pas besoin de savoir pourquoi il y a autant de degrés de liberté, il est bon de savoir que nous appliquons vraiment le concept de degrés de liberté à une nouvelle situation.