Comment calculer la variance d'une distribution de Poisson

La variance d'une distribution d'une variable aléatoire est une caractéristique importante. Ce nombre indique la propagation d'une distribution, et il est trouvé en mettant au carré l'écart type. Une distribution discrète couramment utilisée est celle de la distribution de Poisson. Nous verrons comment calculer la variance de la distribution de Poisson avec le paramètre λ.

La distribution de Poisson

Les distributions de Poisson sont utilisées lorsque nous avons un continuum quelconque et que nous comptons les changements discrets dans ce continuum. Cela se produit lorsque nous considérons le nombre de personnes qui arrivent à une billetterie de cinéma au cours d'une heure, gardons une trace du nombre de voitures qui traversent une intersection avec un arrêt à quatre voies ou comptons le nombre de défauts survenant sur une longueur de fil.

Si nous faisons quelques hypothèses de clarification dans ces scénarios, alors ces situations correspondent aux conditions d'un processus de Poisson. On dit alors que la variable aléatoire, qui compte le nombre de changements, a une distribution de Poisson.

La distribution de Poisson fait en fait référence à une famille infinie de distributions. Ces distributions sont équipées d'un seul paramètre λ. Le paramètre est un nombre réel positif qui est étroitement lié au nombre attendu de changements observés dans le continuum. De plus, nous verrons que ce paramètre est égal non seulement à la moyenne de la distribution mais aussi à la variance de la distribution.

La fonction de masse de probabilité pour une distribution de Poisson est donnée par:

F(X) = (λX e-λ) /X!

Dans cette expression, la lettre e est un nombre et est la constante mathématique avec une valeur approximativement égale à 2,718281828. La variable X peut être n'importe quel entier non négatif.

Calcul de la variance

Pour calculer la moyenne d'une distribution de Poisson, nous utilisons la fonction de génération de moment de cette distribution. On voit ça:

M( t ) = E [etX] = Σ etXF( X) = ΣetX λX e-λ) /X!

Nous rappelons maintenant la série Maclaurin pour e^u. Étant donné que tout dérivé de la fonction e^u est e^u, tous ces dérivés évalués à zéro nous donnent 1. Le résultat est la série e^u = Σ uⁿ/n!.

En utilisant la série Maclaurin pour e^u, nous pouvons exprimer la fonction de génération de moment non pas comme une série, mais sous une forme fermée. Nous combinons tous les termes avec l'exposant de X. Donc M(t) = e^{λ (et - 1)}.

Nous trouvons maintenant la variance en prenant la dérivée seconde de M et évaluer cela à zéro. Puisque M«(t) = λe^tM(t), nous utilisons la règle du produit pour calculer la dérivée seconde:

M"(t) = λ2e2tM«(t) + λetM(t)

Nous évaluons cela à zéro et constatons que M"(0) = λ² + λ. Nous utilisons ensuite le fait que M'(0) = λ pour calculer la variance.

Var (X) = λ2 + λ - (λ)2 = λ.

Cela montre que le paramètre λ est non seulement la moyenne de la distribution de Poisson mais aussi sa variance.