Exemple de test d'hypothèse

Une partie importante des statistiques inférentielles est le test d'hypothèse. Comme pour l'apprentissage de tout ce qui touche aux mathématiques, il est utile de travailler à travers plusieurs exemples. Ce qui suit examine un exemple de test d'hypothèse et calcule la probabilité d'erreurs de type I et de type II.

Nous supposerons que les conditions simples sont réunies. Plus précisément, nous supposerons que nous avons un échantillon aléatoire simple d'une population qui est soit normalement distribuée, soit dont la taille de l'échantillon est suffisamment grande pour que nous puissions appliquer le théorème de la limite centrale. Nous supposerons également que nous connaissons l'écart type de la population.

Énoncé du problème

Un sac de croustilles est emballé au poids. Un total de neuf sacs sont achetés, pesés et le poids moyen de ces neuf sacs est de 10,5 onces. Supposons que l'écart type de la population de tous ces sacs de chips soit de 0,6 once. Le poids indiqué sur tous les colis est de 11 onces. Définissez un niveau de signification à 0,01.

question 1

L'échantillon confirme-t-il l'hypothèse selon laquelle la moyenne réelle de la population est inférieure à 11 onces?

Nous avons un test à queue plus basse. Cela se voit par l'énoncé de nos hypothèses nulles et alternatives:

• H₀ : μ = 11.
• H_une : μ < 11.

La statistique de test est calculée par la formule

z = (X-bar - μ₀) / (σ / √n) = (10,5 - 11) / (0,6 / √ 9) = -0,5 / 0,2 = -2,5.

Nous devons maintenant déterminer la probabilité de cette valeur de z est dû au hasard seul. En utilisant un tableau de z-scores, nous voyons que la probabilité que z est inférieur ou égal à -2,5 soit 0,0062. Puisque cette valeur de p est inférieure au niveau de signification, nous rejetons l'hypothèse nulle et acceptons l'hypothèse alternative. Le poids moyen de tous les sacs de chips est inférieur à 11 onces.

question 2

Quelle est la probabilité d'une erreur de type I?

Une erreur de type I se produit lorsque nous rejetons une hypothèse nulle qui est vraie. La probabilité d'une telle erreur est égale au niveau de signification. Dans ce cas, nous avons un niveau de signification égal à 0,01, c'est donc la probabilité d'une erreur de type I.

question 3

Si la moyenne de la population est en fait de 10,75 onces, quelle est la probabilité d'une erreur de type II?

Nous commençons par reformuler notre règle de décision en termes de moyenne d'échantillon. Pour un niveau de signification de 0,01, nous rejetons l'hypothèse nulle lorsque z < -2.33. By plugging this value into the formula for the test statistics, we reject the null hypothesis when

(X-bar - 11) / (0,6 / √ 9) < -2.33.

De manière équivalente, nous rejetons l'hypothèse nulle lorsque 11 - 2,33 (0,2)> X-bar, ou quand X-la barre est inférieure à 10,534. Nous ne rejetons pas l'hypothèse nulle pour X-barre supérieure ou égale à 10,534. Si la moyenne réelle de la population est de 10,75, la probabilité que X-la barre est supérieure ou égale à 10,534 équivaut à la probabilité que z est supérieur ou égal à -0,22. Cette probabilité, qui est la probabilité d'une erreur de type II, est égale à 0,587.