Probabilité d'une petite ligne droite à Yahtzee en un seul rouleau

Yahtzee est un jeu de dés qui utilise cinq dés à six faces standard. À chaque tour, les joueurs reçoivent trois jets pour obtenir plusieurs objectifs différents. Après chaque lancer, un joueur peut décider lesquels des dés (le cas échéant) doivent être conservés et lesquels doivent être relancés. Les objectifs incluent une variété de différents types de combinaisons, dont beaucoup sont tirées du poker. Chaque type de combinaison vaut un nombre de points différent.

Deux des types de combinaisons que les joueurs doivent lancer sont appelés lignes droites: une petite ligne droite et une grande ligne droite. Comme le poker droit, ces combinaisons consistent en des dés séquentiels. Les petites lignes droites utilisent quatre des cinq dés et les grandes lignes droites utilisent les cinq dés. En raison du caractère aléatoire du lancement des dés, la probabilité peut être utilisée pour analyser la probabilité de lancer une petite ligne droite en un seul lancer..

Hypothèses

Nous supposons que les dés utilisés sont équitables et indépendants les uns des autres. Ainsi, il y a un espace d'échantillonnage uniforme composé de tous les lancers possibles des cinq dés. Bien que Yahtzee autorise trois rouleaux, pour plus de simplicité, nous ne considérerons que le cas où nous obtenons une petite ligne droite en un seul rouleau.

Espace d'échantillon

Puisque nous travaillons avec un espace d'échantillonnage uniforme, le calcul de notre probabilité devient un calcul de quelques problèmes de comptage. La probabilité d'une petite ligne droite est le nombre de façons de rouler une petite ligne droite, divisé par le nombre de résultats dans l'espace échantillon.

Il est très facile de compter le nombre de résultats dans l'espace échantillon. Nous lançons cinq dés et chacun de ces dés peut avoir l'un des six résultats différents. Une application de base du principe de multiplication nous indique que l'espace d'échantillonnage a 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 résultats. Ce nombre sera le dénominateur des fractions que nous utilisons pour notre probabilité.

Nombre de lignes droites

Ensuite, nous devons savoir combien de façons il y a de rouler une petite ligne droite. C'est plus difficile que de calculer la taille de l'espace échantillon. Nous commençons par compter le nombre de lignes droites possibles.

Une petite droite est plus facile à rouler qu'une grande droite, cependant, il est plus difficile de compter le nombre de façons de rouler ce type de droite. Une petite ligne droite se compose exactement de quatre nombres séquentiels. Puisqu'il y a six faces différentes du dé, il y a trois petites lignes droites possibles: 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5 et 3, 4, 5, 6. La difficulté se pose en considérant ce qui se passe avec le cinquième dé. Dans chacun de ces cas, le cinquième dé doit être un nombre qui ne crée pas une grande ligne droite. Par exemple, si les quatre premiers dés étaient 1, 2, 3 et 4, le cinquième dé pourrait être autre chose que 5. Si le cinquième dé était un 5, alors nous aurions une grande ligne droite plutôt qu'une petite ligne droite..

Cela signifie qu'il y a cinq rouleaux possibles qui donnent la petite ligne droite 1, 2, 3, 4, cinq rouleaux possibles qui donnent la petite ligne droite 3, 4, 5, 6 et quatre rouleaux possibles qui donnent la petite ligne droite 2, 3, 4, 5. Ce dernier cas est différent parce que lancer un 1 ou un 6 pour le cinquième dé changera 2, 3, 4, 5 en une grande ligne droite. Cela signifie qu'il y a 14 façons différentes que cinq dés peuvent nous donner une petite ligne droite.

Maintenant, nous déterminons le nombre différent de façons de lancer un ensemble particulier de dés qui nous donnent une quinte. Comme nous avons seulement besoin de savoir de combien de façons il y a lieu, nous pouvons utiliser certaines techniques de comptage de base.

Sur les 14 façons distinctes d'obtenir de petites lignes droites, seulement deux de ces 1,2,3,4,6 et 1,3,4,5,6 sont des ensembles avec des éléments distincts. Il y en a 5! = 120 façons de rouler chacune pour un total de 2 x 5! = 240 petites lignes droites.

Les 12 autres façons d'avoir une petite ligne droite sont des multisets techniquement car elles contiennent toutes un élément répété. Pour un multiset particulier, tel que [1,1,2,3,4], nous compterons le nombre de différentes manières de rouler cela. Considérez les dés comme cinq positions consécutives:

• Il y a C (5,2) = 10 façons de positionner les deux éléments répétés parmi les cinq dés.
• Il y a 3! = 6 façons d'organiser les trois éléments distincts.

Selon le principe de multiplication, il existe 6 x 10 = 60 façons différentes de lancer les dés 1,1,2,3,4 en un seul lancer.

Il y a 60 façons de lancer une telle petite ligne droite avec ce cinquième dé particulier. Puisqu'il y a 12 multisets donnant une liste différente de cinq dés, il y a 60 x 12 = 720 façons de lancer une petite ligne droite dans laquelle deux dés correspondent.

Au total il y en a 2 x 5! + 12 x 60 = 960 façons de rouler une petite ligne droite.