Définir la théorie

La théorie des ensembles est un concept fondamental dans toutes les mathématiques. Cette branche des mathématiques constitue une base pour d'autres sujets. 

Intuitivement, un ensemble est une collection d'objets, appelés éléments. Bien que cela semble être une idée simple, cela a des conséquences de grande portée. 

Éléments

Les éléments d'un ensemble peuvent vraiment être n'importe quoi - des nombres, des états, des voitures, des personnes ou même d'autres ensembles sont toutes des possibilités d'éléments. À peu près tout ce qui peut être collecté ensemble peut être utilisé pour former un ensemble, bien qu'il y ait certaines choses auxquelles nous devons faire attention.

Ensembles égaux

Les éléments d'un ensemble sont dans un ensemble ou non dans un ensemble. Nous pouvons décrire un ensemble par une propriété de définition, ou nous pouvons lister les éléments de l'ensemble. L'ordre dans lequel ils sont répertoriés n'est pas important. Ainsi, les ensembles 1, 2, 3 et 1, 3, 2 sont des ensembles égaux, car ils contiennent tous les deux les mêmes éléments.

Deux ensembles spéciaux

Deux séries méritent une mention spéciale. Le premier est l'ensemble universel, généralement noté U. Cet ensemble est tous les éléments que nous pouvons choisir. Cet ensemble peut être différent d'un paramètre au suivant. Par exemple, un ensemble universel peut être l'ensemble des nombres réels alors que pour un autre problème l'ensemble universel peut être les nombres entiers 0, 1, 2,…. 

L'autre ensemble qui nécessite une certaine attention est appelé l'ensemble vide. L'ensemble vide est l'ensemble unique est l'ensemble sans éléments. Nous pouvons écrire ceci comme et désigner cet ensemble par le symbole ∅.

Sous-ensembles et Power Set

Une collection de certains des éléments d'un ensemble UNE est appelé un sous-ensemble de UNE. Nous disons que UNE est un sous-ensemble de B si et seulement si chaque élément de UNE est aussi un élément de B. S'il y a un nombre fini n d'éléments dans un ensemble, alors il y a un total de 2ⁿ sous-ensembles de UNE. Cette collection de tous les sous-ensembles de UNE est un ensemble qui est appelé l'ensemble de puissance de UNE.

Définir les opérations

Tout comme nous pouvons effectuer des opérations telles que l'addition - sur deux nombres pour obtenir un nouveau nombre, les opérations de théorie des ensembles sont utilisées pour former un ensemble à partir de deux autres ensembles. Il existe un certain nombre d'opérations, mais presque toutes sont composées des trois opérations suivantes:

• Union - Un syndicat signifie un rapprochement. L'union des décors UNE et B se compose des éléments qui se trouvent dans UNE ou B.
• Intersection - Une intersection est l'endroit où deux choses se rencontrent. L'intersection des ensembles UNE et B se compose des éléments qui, dans les deux UNE et B.
• Complément - Le complément de l'ensemble UNE se compose de tous les éléments de l'ensemble universel qui ne sont pas des éléments de UNE.

Diagrammes de Venn

Un outil qui est utile pour décrire la relation entre différents ensembles est appelé un diagramme de Venn. Un rectangle représente l'ensemble universel de notre problème. Chaque ensemble est représenté par un cercle. Si les cercles se chevauchent, cela illustre l'intersection de nos deux ensembles. 

Applications de la théorie des ensembles

La théorie des ensembles est utilisée dans toutes les mathématiques. Il est utilisé comme base pour de nombreux sous-domaines des mathématiques. Dans les domaines relatifs aux statistiques, il est particulièrement utilisé en probabilité. Une grande partie des concepts de probabilité dérivent des conséquences de la théorie des ensembles. En effet, une façon d'énoncer les axiomes de probabilité implique la théorie des ensembles.