Distribution normale standard dans les problèmes mathématiques

La distribution normale standard, plus connue sous le nom de courbe en cloche, apparaît à divers endroits. Plusieurs sources de données différentes sont normalement distribuées. De ce fait, notre connaissance de la distribution normale standard peut être utilisée dans un certain nombre d'applications. Mais nous n'avons pas besoin de travailler avec une distribution normale différente pour chaque application. Au lieu de cela, nous travaillons avec une distribution normale avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1. Nous examinerons quelques applications de cette distribution qui sont toutes liées à un problème particulier.

Exemple

Supposons que l'on nous dise que les hauteurs des mâles adultes dans une région particulière du monde sont normalement distribuées avec une moyenne de 70 pouces et un écart type de 2 pouces.

1. Quelle proportion approximative de mâles adultes mesure plus de 73 pouces?
2. Quelle proportion d'hommes adultes se situe entre 72 et 73 pouces?
3. Quelle hauteur correspond au point où 20% de tous les mâles adultes sont supérieurs à cette hauteur?
4. Quelle hauteur correspond au point où 20% de tous les mâles adultes sont inférieurs à cette hauteur?

Solutions

Avant de continuer, assurez-vous de vous arrêter et de reprendre votre travail. Voici une explication détaillée de chacun de ces problèmes:

1. Nous utilisons notre z-formule de score pour convertir 73 en un score standardisé. Ici, nous calculons (73 - 70) / 2 = 1,5. La question devient donc: quelle est l'aire sous la distribution normale standard pour z supérieur à 1,5? Consulter notre table de z-les scores nous montrent que 0,933 = 93,3% de la distribution des données est inférieure à z = 1,5. Par conséquent, 100% - 93,3% = 6,7% des hommes adultes sont plus grands que 73 pouces.
2. Ici, nous convertissons nos hauteurs en un standard z-But. Nous avons vu que 73 a z score de 1,5. le z-le score de 72 est (72 - 70) / 2 = 1. Nous recherchons donc l'aire sous la distribution normale pour 1<z < 1.5. A quick check of the normal distribution table shows that this proportion is 0.933 - 0.841 = 0.092 = 9.2%
3. Ici, la question est inversée par rapport à ce que nous avons déjà considéré. Maintenant, nous regardons dans notre tableau pour trouver un z-But Z^* cela correspond à une superficie de 0,200 ci-dessus. Pour une utilisation dans notre tableau, nous notons que c'est là que 0,800 est ci-dessous. Quand on regarde le tableau, on voit que z^* = 0,84. Nous devons maintenant convertir cela z-marquer à une hauteur. Puisque 0,84 = (x - 70) / 2, cela signifie que X = 71,68 pouces.
4. Nous pouvons utiliser la symétrie de la distribution normale et nous éviter de chercher la valeur z^*. Au lieu de z^* = 0,84, nous avons -0,84 = (x - 70) / 2. Donc X = 68,32 pouces.

La zone de la zone ombrée à gauche de z dans le diagramme ci-dessus illustre ces problèmes. Ces équations représentent des probabilités et ont de nombreuses applications en statistiques et probabilités.