La formule de la valeur attendue

Une question naturelle à poser sur une distribution de probabilité est: "Quel est son centre?" La valeur attendue est l'une de ces mesures du centre d'une distribution de probabilité. Puisqu'il mesure la moyenne, il n'est pas surprenant que cette formule soit dérivée de celle de la moyenne.

Pour établir un point de départ, nous devons répondre à la question "Quelle est la valeur attendue?" Supposons que nous ayons une variable aléatoire associée à une expérience de probabilité. Disons que nous répétons cette expérience encore et encore. Sur le long terme de plusieurs répétitions de la même expérience de probabilité, si nous faisions la moyenne de toutes nos valeurs de la variable aléatoire, nous obtiendrions la valeur attendue. 

Dans ce qui suit, nous verrons comment utiliser la formule pour la valeur attendue. Nous allons examiner à la fois les paramètres discrets et continus et voir les similitudes et les différences dans les formules.

La formule d'une variable aléatoire discrète

Nous commençons par analyser le cas discret. Étant donné une variable aléatoire discrète X, supposons qu'il ait des valeurs X₁, X₂, X₃,… X_n, et les probabilités respectives de p₁, p₂, p₃,… p_n. Cela signifie que la fonction de masse de probabilité pour cette variable aléatoire donne F(X_je) = p_je. 

La valeur attendue de X est donné par la formule:

E (X) = X₁p₁ + X₂p₂ + X₃p₃ +… + X_np_n.

L'utilisation de la fonction de masse de probabilité et de la notation de sommation nous permet d'écrire de façon plus compacte cette formule comme suit, où la sommation est reprise sur l'indice je:

E (X) = Σ X_jeF(X_je).

Cette version de la formule est utile à voir car elle fonctionne également lorsque nous avons un espace échantillon infini. Cette formule peut également être facilement ajustée pour le cas continu.

Un exemple

Lancez une pièce trois fois et laissez X être le nombre de têtes. La variable aléatoire X est discret et fini. Les seules valeurs possibles que nous pouvons avoir sont 0, 1, 2 et 3. Ceci a une distribution de probabilité de 1/8 pour X = 0, 3/8 pour X = 1, 3/8 pour X = 2, 1/8 pour X = 3. Utilisez la formule de valeur attendue pour obtenir:

(1/8) 0 + (3/8) 1 + (3/8) 2 + (1/8) 3 = 12/8 = 1,5

Dans cet exemple, nous voyons qu'à long terme, nous allons en moyenne un total de 1,5 têtes de cette expérience. Cela a du sens avec notre intuition car la moitié de 3 est 1,5.

La formule d'une variable aléatoire continue

Nous passons maintenant à une variable aléatoire continue, que nous désignerons par X. Nous allons laisser la fonction de densité de probabilité de X être donné par la fonction F(X). 

La valeur attendue de X est donné par la formule:

E (X) = ∫ x f(X) réX.