Utilisation de la probabilité conditionnelle pour calculer la probabilité d'intersection

La probabilité conditionnelle d'un événement est la probabilité qu'un événement UNE se produit étant donné qu'un autre événement B s'est déjà produit. Ce type de probabilité est calculé en restreignant l'espace d'échantillonnage avec lequel nous travaillons uniquement à l'ensemble B.

La formule de probabilité conditionnelle peut être réécrite en utilisant une algèbre de base. Au lieu de la formule:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),

on multiplie les deux côtés par P (B) et obtenir la formule équivalente:

P (A | B) X P (B) = P (A ∩ B).

Nous pouvons ensuite utiliser cette formule pour trouver la probabilité que deux événements se produisent en utilisant la probabilité conditionnelle.

Utilisation de la formule

Cette version de la formule est très utile lorsque nous connaissons la probabilité conditionnelle de UNE donné B ainsi que la probabilité de l'événement B. Si tel est le cas, alors nous pouvons calculer la probabilité de l'intersection de UNE donné B en multipliant simplement deux autres probabilités. La probabilité d'intersection de deux événements est un nombre important car c'est la probabilité que les deux événements se produisent.

Exemples

Pour notre premier exemple, supposons que nous connaissons les valeurs suivantes pour les probabilités: P (A | B) = 0,8 et P (B) = 0,5. La probabilite P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.

Bien que l'exemple ci-dessus montre comment fonctionne la formule, il n'est peut-être pas le plus éclairant quant à l'utilité de la formule ci-dessus. Nous allons donc considérer un autre exemple. Il y a un lycée avec 400 élèves, dont 120 garçons et 280 filles. Parmi les hommes, 60% sont actuellement inscrits à un cours de mathématiques. Parmi les femmes, 80% sont actuellement inscrites à un cours de mathématiques. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit une femme inscrite à un cours de mathématiques?

Ici on laisse F dénoter l'événement «L'élève sélectionné est une femme» et M l'événement «L'élève sélectionné est inscrit à un cours de mathématiques». Nous devons déterminer la probabilité de l'intersection de ces deux événements, ou P (M ∩ F).

La formule ci-dessus nous montre que P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). La probabilité qu'une femme soit sélectionnée est P (F) = 280/400 = 70%. La probabilité conditionnelle que l'élève sélectionné soit inscrit à un cours de mathématiques, étant donné qu'une femme a été sélectionnée, est P (M | F) = 80%. Nous multiplions ces probabilités ensemble et voyons que nous avons une probabilité de 80% x 70% = 56% de sélectionner une étudiante inscrite à un cours de mathématiques.

Test d'indépendance

La formule ci-dessus reliant la probabilité conditionnelle et la probabilité d'intersection nous donne un moyen facile de dire si nous avons affaire à deux événements indépendants. Depuis les événements UNE et B sont indépendants si P (A | B) = P (A), il résulte de la formule ci-dessus que les événements UNE et B sont indépendants si et seulement si:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

Donc, si nous savons que P (A) = 0,5, P (B) = 0,6 et P (A ∩ B) = 0,2, sans rien savoir d'autre, nous pouvons déterminer que ces événements ne sont pas indépendants. Nous le savons parce que P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Ce n'est pas la probabilité de l'intersection de UNE et B.