Qu'est-ce qu'un vrai nombre?

Qu'est-ce qu'un numéro? Ça dépend. Il existe différents types de nombres, chacun ayant ses propres propriétés. Une sorte de nombre, sur lequel la statistique, la probabilité et une grande partie des mathématiques sont basées, s'appelle un nombre réel.

Pour savoir ce qu'est un vrai nombre, nous allons d'abord faire un bref tour d'autres types de nombres.

Types de nombres

Nous apprenons d'abord les chiffres pour compter. Nous avons commencé par faire correspondre les chiffres 1, 2 et 3 avec nos doigts. Ensuite, nous avons continué à aller aussi haut que possible, ce qui n'était probablement pas si élevé. Ces nombres de comptage ou nombres naturels étaient les seuls nombres que nous connaissions.

Plus tard, lors de la soustraction, des nombres entiers négatifs ont été introduits. L'ensemble des nombres entiers positifs et négatifs est appelé l'ensemble des entiers. Peu de temps après, des nombres rationnels, également appelés fractions, ont été considérés. Puisque chaque entier peut être écrit comme une fraction avec 1 au dénominateur, nous disons que les entiers forment un sous-ensemble des nombres rationnels.

Les anciens Grecs ont réalisé que tous les nombres ne peuvent pas être formés sous forme de fraction. Par exemple, la racine carrée de 2 ne peut pas être exprimée sous forme de fraction. Ces types de nombres sont appelés nombres irrationnels. Les nombres irrationnels abondent et, de façon quelque peu surprenante dans un certain sens, il y a plus de nombres irrationnels que de nombres rationnels. D'autres nombres irrationnels incluent pi et e.

Expansions décimales

Chaque nombre réel peut être écrit sous forme décimale. Différents types de nombres réels ont différents types d'extensions décimales. L'expansion décimale d'un nombre rationnel se termine, telle que 2, 3,25 ou 1,2342, ou se répète, telle que 0,33333… Ou .123123123… Contrairement à cela, l'expansion décimale d'un nombre irrationnel est non terminante et non répétitive. Nous pouvons le voir dans l'expansion décimale de pi. Il y a une chaîne de chiffres sans fin pour pi, et de plus, il n'y a pas de chaîne de chiffres qui se répète indéfiniment.

Visualisation des nombres réels

Les nombres réels peuvent être visualisés en associant chacun d'eux à l'un des nombres infinis de points le long d'une ligne droite. Les nombres réels ont un ordre, ce qui signifie que pour deux nombres réels distincts, nous pouvons dire que l'un est supérieur à l'autre. Par convention, se déplacer vers la gauche le long de la droite des nombres réels correspond à des nombres de plus en plus petits. Le déplacement vers la droite le long de la droite réelle correspond à des nombres de plus en plus grands.

Propriétés de base des nombres réels

Les vrais nombres se comportent comme les autres nombres avec lesquels nous sommes habitués. Nous pouvons les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser (tant que nous ne divisons pas par zéro). L'ordre d'addition et de multiplication est sans importance, car il existe une propriété commutative. Une propriété distributive nous indique comment la multiplication et l'addition interagissent entre elles.

Comme mentionné précédemment, les nombres réels possèdent un ordre. Étant donné deux nombres réels X et y, nous savons qu'une et une seule des affirmations suivantes est vraie:

X = y, X < y ou X > y.

Une autre propriété - complétude

La propriété qui distingue les nombres réels des autres ensembles de nombres, comme les rationnels, est une propriété connue sous le nom d'exhaustivité. L'exhaustivité est un peu technique à expliquer, mais la notion intuitive est que l'ensemble des nombres rationnels comporte des lacunes. L'ensemble des nombres réels n'a pas de lacunes, car il est complet.

À titre d'illustration, nous examinerons la séquence des nombres rationnels 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,… Chaque terme de cette séquence est une approximation de pi, obtenue en tronquant l'expansion décimale de pi. Les termes de cette séquence se rapprochent de plus en plus de pi. Cependant, comme nous l'avons mentionné, pi n'est pas un nombre rationnel. Nous devons utiliser des nombres irrationnels pour boucher les trous de la droite numérique qui se produisent en ne considérant que les nombres rationnels.

Combien de vrais nombres?

Il n'est pas surprenant qu'il existe un nombre infini de nombres réels. Cela peut être vu assez facilement si l'on considère que les nombres entiers forment un sous-ensemble des nombres réels. Nous pourrions également voir cela en réalisant que la droite numérique a un nombre infini de points.

Ce qui est surprenant, c'est que l'infini utilisé pour compter les nombres réels est d'un type différent de l'infini utilisé pour compter les nombres entiers. Les nombres entiers, entiers et rationnels sont infiniment dénombrables. L'ensemble des nombres réels est infiniment infini.

Pourquoi les appeler réels?

Les vrais nombres obtiennent leur nom pour les distinguer d'une généralisation encore plus poussée au concept de nombre. Le nombre imaginaire je est défini comme étant la racine carrée de la racine négative. Tout nombre réel multiplié par je est également connu sous le nom de nombre imaginaire. Les nombres imaginaires étendent définitivement notre conception du nombre, car ils ne sont pas du tout ce à quoi nous pensions lorsque nous avons appris à compter.