Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle?

Un exemple simple de probabilite conditionnelle est la probabilité qu'une carte tirée d'un jeu de cartes standard soit un roi. Il y a un total de quatre rois sur 52 cartes, et donc la probabilité est tout simplement 4/52. La question suivante est liée à ce calcul: "Quelle est la probabilité que nous tirions un roi étant donné que nous avons déjà tiré une carte du jeu et que c'est un as?" Nous considérons ici le contenu du jeu de cartes. Il y a encore quatre rois, mais maintenant il n'y a que 51 cartes dans le jeu. La probabilité de tirer un roi étant donné qu'un as a déjà été tiré est de 4/51.

La probabilité conditionnelle est définie comme la probabilité d'un événement étant donné qu'un autre événement s'est produit. Si nous nommons ces événements UNE et B, alors nous pouvons parler de la probabilité de UNE donné B. On pourrait également se référer à la probabilité de UNE dépendant de B.

Notation

La notation de la probabilité conditionnelle varie d'un manuel à l'autre. Dans toutes les notations, l'indication est que la probabilité à laquelle nous nous référons dépend d'un autre événement. L'une des notations les plus courantes pour la probabilité de UNE donné B est P (A | B). Une autre notation utilisée est P_B( UNE ).

Formule

Il existe une formule pour la probabilité conditionnelle qui relie cela à la probabilité de UNE et B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Essentiellement, ce que dit cette formule, c'est que pour calculer la probabilité conditionnelle de l'événement UNE compte tenu de l'événement B, nous modifions notre espace d'échantillonnage pour ne comprendre que l'ensemble B. Ce faisant, nous ne considérons pas tout l'événement UNE, mais seulement la partie de UNE qui est également contenu dans B. L'ensemble que nous venons de décrire peut être identifié en termes plus familiers comme l'intersection de UNE et B.

Nous pouvons utiliser l'algèbre pour exprimer la formule ci-dessus d'une manière différente:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Exemple

Nous reviendrons sur l'exemple avec lequel nous avons commencé à la lumière de ces informations. Nous voulons connaître la probabilité de tirer un roi étant donné qu'un as a déjà été tiré. Ainsi l'événement UNE c'est qu'on dessine un roi. un événement B c'est qu'on dessine un as.

La probabilité que les deux événements se produisent et que nous tirons un as puis un roi correspond à P (A ∩ B). La valeur de cette probabilité est 12/2652. La probabilité d'événement B, que nous tirons un as est 4/52. Ainsi, nous utilisons la formule de probabilité conditionnelle et voyons que la probabilité de tirer un roi donné qu'un as a été tiré est (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Un autre exemple

Pour un autre exemple, nous allons regarder l'expérience de probabilité où nous lançons deux dés. Une question que nous pourrions poser est: "Quelle est la probabilité que nous ayons obtenu un trois, étant donné que nous avons obtenu une somme inférieure à six?"

Ici l'événement UNE est que nous avons roulé un trois, et l'événement B c'est que nous avons roulé une somme inférieure à six. Il y a un total de 36 façons de lancer deux dés. Sur ces 36 façons, nous pouvons rouler une somme inférieure à six sur dix façons:

1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 4
1 + 4 = 5
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
2 + 3 = 5
3 + 1 = 4
3 + 2 = 5
4 + 1 = 5

Événements indépendants

Dans certains cas, la probabilité conditionnelle de UNE compte tenu de l'événement B est égal à la probabilité de UNE. Dans cette situation, nous disons que les événements UNE et B sont indépendants les uns des autres. La formule ci-dessus devient:

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