Quelle est l'intersection de deux ensembles?
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Lorsqu'il s'agit de la théorie des ensembles, il existe un certain nombre d'opérations pour créer de nouveaux ensembles à partir d'anciens. L'une des opérations d'ensemble les plus courantes est appelée intersection. En termes simples, l'intersection de deux ensembles UNE et B est l'ensemble de tous les éléments que les deux UNE et B avoir en commun.
Nous examinerons les détails concernant l'intersection dans la théorie des ensembles. Comme nous le verrons, le mot clé ici est le mot «et».
Un exemple
Pour un exemple de la façon dont l'intersection de deux ensembles forme un nouvel ensemble, considérons les ensembles UNE = 1, 2, 3, 4, 5 et B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Pour trouver l'intersection de ces deux ensembles, nous devons découvrir quels éléments ils ont en commun. Les nombres 3, 4, 5 sont des éléments des deux ensembles, donc les intersections de UNE et B est 3. 4. 5].
Notation pour l'intersection
En plus de comprendre les concepts concernant les opérations de théorie des ensembles, il est important de pouvoir lire les symboles utilisés pour désigner ces opérations. Le symbole d'intersection est parfois remplacé par le mot «et» entre deux ensembles. Ce mot suggère la notation plus compacte pour une intersection qui est généralement utilisée.
Le symbole utilisé pour l'intersection des deux ensembles UNE et B est donné par UNE ∩ B. Une façon de se rappeler que ce symbole ∩ se réfère à l'intersection est de remarquer sa ressemblance avec un A majuscule, qui est l'abréviation du mot "et".
Pour voir cette notation en action, reportez-vous à l'exemple ci-dessus. Ici, nous avions les ensembles UNE = 1, 2, 3, 4, 5 et B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Nous écririons donc l'équation d'ensemble UNE ∩ B = 3, 4, 5.
Intersection avec l'ensemble vide
Une identité de base qui implique l'intersection nous montre ce qui se passe lorsque nous prenons l'intersection de n'importe quel ensemble avec l'ensemble vide, noté # 8709. L'ensemble vide est l'ensemble sans éléments. S'il n'y a aucun élément dans au moins l'un des ensembles dont nous essayons de trouver l'intersection, alors les deux ensembles n'ont aucun élément en commun. En d'autres termes, l'intersection de tout ensemble avec l'ensemble vide nous donnera l'ensemble vide.
Cette identité devient encore plus compacte avec l'utilisation de notre notation. Nous avons l'identité: UNE ∩ ∅ = ∅.
Intersection avec l'ensemble universel
Pour l'autre extrême, que se passe-t-il lorsque nous examinons l'intersection d'un ensemble avec l'ensemble universel? Semblable à la façon dont le mot univers est utilisé en astronomie pour signifier tout, l'ensemble universel contient chaque élément. Il s'ensuit que chaque élément de notre ensemble est également un élément de l'ensemble universel. Ainsi, l'intersection de tout ensemble avec l'ensemble universel est l'ensemble avec lequel nous avons commencé.
Encore une fois, notre notation vient à la rescousse pour exprimer plus succinctement cette identité. Pour tout ensemble UNE et l'ensemble universel U, UNE ∩ U = UNE.
Autres identités impliquant l'intersection
Il existe de nombreuses autres équations définies qui impliquent l'utilisation de l'opération d'intersection. Bien sûr, il est toujours bon de pratiquer en utilisant le langage de la théorie des ensembles. Pour tous les ensembles UNE, et B et ré on a:
- Propriété réflexive: UNE ∩ UNE =UNE
- Propriété commutative: UNE ∩ B = B ∩ UNE
- Propriété associative: (UNE ∩ B) ∩ ré =UNE ∩ (B ∩ ré)
- Propriété distributive: (UNE ∪ B) ∩ ré = (UNE ∩ ré) ∪ (B ∩ ré)
- Loi I de DeMorgan: (UNE ∩ B)C = UNEC ∪ BC
- Loi II de DeMorgan: (UNE ∪ B)C = UNEC ∩ BC
