Pourquoi Zero Factorial est-il égal à One?

Une factorielle nulle est une expression mathématique pour le nombre de façons d'organiser un ensemble de données sans valeur, ce qui équivaut à un. En général, la factorielle d'un nombre est un moyen rapide d'écrire une expression de multiplication dans laquelle le nombre est multiplié par chaque nombre inférieur à lui mais supérieur à zéro. 4! = 24, par exemple, équivaut à écrire 4 x 3 x 2 x 1 = 24, dans lequel on utilise un point d'exclamation à droite du nombre factoriel (quatre) pour exprimer la même équation.

Il est assez clair à partir de ces exemples comment calculer la factorielle de tout nombre entier supérieur ou égal à un, mais pourquoi la valeur de zéro factorielle est-elle malgré la règle mathématique selon laquelle tout ce qui est multiplié par zéro est égal à zéro? 

La définition de la factorielle indique que 0! = 1. Cela confond généralement les gens la première fois qu'ils voient cette équation, mais nous verrons dans les exemples ci-dessous pourquoi cela a du sens lorsque vous regardez la définition, les permutations et les formules de la factorielle nulle.

La définition d'un facteur zéro

La première raison pour laquelle la factorielle nulle est égale à un est parce que c'est ce que la définition dit qu'elle devrait être, ce qui est une explication mathématiquement correcte sinon quelque peu insatisfaisante. Pourtant, il faut se rappeler que la définition d'une factorielle est le produit de tous les entiers égaux ou inférieurs en valeur au nombre d'origine - en d'autres termes, c'est une factorielle est le nombre de combinaisons possibles avec des nombres inférieurs ou égaux à ce nombre.

Parce que zéro n'a pas de nombres inférieurs mais est toujours en soi un nombre, il n'y a toujours qu'une combinaison possible de la façon dont cet ensemble de données peut être organisé: il ne peut pas. Cela compte toujours comme une façon de l'arranger, donc par définition, une factorielle nulle est égale à un, tout comme 1! est égal à un car il n'y a qu'une seule disposition possible de cet ensemble de données.

Pour mieux comprendre comment cela a un sens mathématique, il est important de noter que des factorielles comme celles-ci sont utilisées pour déterminer les ordres d'informations possibles dans une séquence, également connus sous le nom de permutations, ce qui peut être utile pour comprendre que même s'il n'y a pas de valeurs dans un ensemble vide ou nul, il y a toujours une façon dont l'ensemble est organisé. 

Permutations et factorielles

Une permutation est un ordre spécifique et unique d'éléments dans un ensemble. Par exemple, il y a six permutations de l'ensemble 1, 2, 3, qui contient trois éléments, car nous pouvons écrire ces éléments des six manières suivantes:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Nous pourrions également déclarer ce fait à travers l'équation 3! = 6, qui est une représentation factorielle de l'ensemble complet des permutations. De la même manière, il y en a 4! = 24 permutations d'un ensemble à quatre éléments et 5! = 120 permutations d'un ensemble à cinq éléments. Donc, une autre façon de penser à la factorielle est de laisser n être un nombre naturel et dire que n! est le nombre de permutations pour un ensemble avec n éléments.

Avec cette façon de penser la factorielle, regardons quelques autres exemples. Un ensemble à deux éléments a deux permutations: a, b peut être organisé comme a, b ou comme b, a. Cela correspond à 2! = 2. Un ensemble avec un élément a une seule permutation, car l'élément 1 de l'ensemble 1 ne peut être ordonné que dans un sens.

Cela nous amène à zéro factorielle. L'ensemble avec zéro élément est appelé l'ensemble vide. Pour trouver la valeur de la factorielle nulle, nous demandons: «De combien de façons pouvons-nous commander un ensemble sans éléments?» Ici, nous devons étirer un peu notre réflexion. Même s'il n'y a rien à mettre dans une commande, il existe un moyen de le faire. Nous avons donc ce 0! = 1.

Formules et autres validations

Une autre raison pour la définition de 0! = 1 a à voir avec les formules que nous utilisons pour les permutations et les combinaisons. Cela n'explique pas pourquoi la factorielle nulle est un, mais cela montre pourquoi la mise à 0! = 1 est une bonne idée.

Une combinaison est un regroupement d'éléments d'un ensemble sans égard à l'ordre. Par exemple, considérons l'ensemble 1, 2, 3, dans lequel il existe une combinaison composée des trois éléments. Peu importe l'ordre dans lequel nous organisons ces éléments, nous nous retrouvons avec la même combinaison.

Nous utilisons la formule pour les combinaisons, avec la combinaison de trois éléments pris trois à la fois et voyons que 1 = C (3, 3) = 3! / (3! 0!) Et si nous traitons 0! comme une quantité inconnue et résoudre algébriquement, nous voyons que 3! 0! = 3! et donc 0! = 1.

Il y a d'autres raisons pour lesquelles la définition de 0! = 1 est correct, mais les raisons ci-dessus sont les plus simples. L'idée générale en mathématiques est que lorsque de nouvelles idées et définitions sont construites, elles restent cohérentes avec les autres mathématiques, et c'est exactement ce que nous voyons dans la définition de zéro factoriel est égal à un.