Tableau binomial pour n = 10 et n = 11
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De toutes les variables aléatoires discrètes, l'une des plus importantes en raison de ses applications est une variable aléatoire binomiale. La distribution binomiale, qui donne les probabilités pour les valeurs de ce type de variable, est complètement déterminée par deux paramètres: n et p. Ici n est le nombre d'essais et p est la probabilité de succès de cet essai. Les tableaux ci-dessous sont pour n = 10 et 11. Les probabilités de chacune sont arrondies à trois décimales.
Nous devons toujours demander si une distribution binomiale doit être utilisée. Afin d'utiliser une distribution binomiale, nous devons vérifier et voir que les conditions suivantes sont remplies:
- Nous avons un nombre fini d'observations ou d'essais.
- Le résultat de l'essai d'apprentissage peut être classé comme un succès ou un échec.
- La probabilité de succès reste constante.
- Les observations sont indépendantes les unes des autres.
La distribution binomiale donne la probabilité de r succès dans une expérience avec un total de n essais indépendants, chacun ayant une probabilité de succès p. Les probabilités sont calculées par la formule C(n, r)pr(1 - p)n - r où C(n, r) est la formule des combinaisons.
Le tableau est organisé selon les valeurs de p et de r. Il existe un tableau différent pour chaque valeur de n.
Autres tables
Pour les autres tableaux de distribution binomiale, nous avons n = 2 à 6, n = 7 à 9. Pour les situations dans lesquelles np et n(1 - p) sont supérieurs ou égaux à 10, on peut utiliser l'approximation normale de la distribution binomiale. Dans ce cas, l'approximation est très bonne et ne nécessite pas le calcul de coefficients binomiaux. Cela offre un grand avantage car ces calculs binomiaux peuvent être assez compliqués.
Exemple
L'exemple suivant de génétique illustrera comment utiliser le tableau. Supposons que nous savons que la probabilité qu'une progéniture hérite de deux copies d'un gène récessif (et donc se retrouve avec le trait récessif) est 1/4.
Nous voulons calculer la probabilité qu'un certain nombre d'enfants dans une famille de dix membres possèdent ce trait. Laisser X être le nombre d'enfants avec ce trait. Nous regardons le tableau pour n = 10 et la colonne avec p = 0,25, et consultez la colonne suivante:
.056, .188, .282, .250, .146, .058, .016, .003
Cela signifie pour notre exemple que
- P (X = 0) = 5,6%, qui est la probabilité qu'aucun des enfants n'ait le caractère récessif.
- P (X = 1) = 18,8%, qui est la probabilité que l'un des enfants ait le trait récessif.
- P (X = 2) = 28,2%, qui est la probabilité que deux des enfants aient le trait récessif.
- P (X = 3) = 25,0%, qui est la probabilité que trois des enfants aient le trait récessif.
- P (X = 4) = 14,6%, qui est la probabilité que quatre des enfants aient le trait récessif.
- P (X = 5) = 5,8%, qui est la probabilité que cinq des enfants aient le trait récessif.
- P (X = 6) = 1,6%, qui est la probabilité que six des enfants aient le trait récessif.
- P (X = 7) = 0,3%, qui est la probabilité que sept des enfants aient le trait récessif.
Tableaux pour n = 10 à n = 11
n = 10
| p | .01 | .05 | .dix | .15 | .20 | .25 | .30 | .35 | .40 | .45 | .50 | .55 | .60 | .65 | .70 | .75 | .80 | .85 | .90 | .95 | |
| r | 0 | .904 | .599 | .349 | .197 | .107 | .056 | .028 | .014 | .006 | .003 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 |
| 1 | .091 | .315 | .387 | .347 | .268 | .188 | .121 | .072 | .040 | .021 | .010 | .004 | .002 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 2 | .004 | .075 | .194 | .276 | .302 | .282 | .233 | .176 | .121 | .076 | .044 | .023 | .011 | .004 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 3 | .000 | .010 | .057 | .130 | .201 | .250 | .267 | .252 | .215 | .166 | .117 | .075 | .042 | .021 | .009 | .003 | .001 | .000 | .000 | .000 | |
| 4 | .000 | .001 | .011 | .040 | .088 | .146 | .200 | .238 | .251 | .238 | .205 | .160 | .111 | .069 | .037 | .016 | .006 | .001 | .000 | .000 | |
| 5 | .000 | .000 | .001 | .008 | .026 | .058 | .103 | .154 | .201 | .234 | .246 | .234 | .201 | .154 | .103 | .058 | .026 | .008 | .001 | .000 | |
| 6 | .000 | .000 | .000 | .001 | .006 | .016 | .037 | .069 | .111 | .160 | .205 | .238 | .251 | .238 | .200 | .146 | .088 | .040 | .011 | .001 | |
| sept | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .003 | .009 | .021 | .042 | .075 | .117 | .166 | .215 | .252 | .267 | .250 | .201 | .130 | .057 | .010 | |
| 8 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .011 | .023 | .044 | .076 | .121 | .176 | .233 | .282 | .302 | .276 | .194 | .075 | |
| 9 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .002 | .004 | .010 | .021 | .040 | .072 | .121 | .188 | .268 | .347 | .387 | .315 | |
| dix | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .003 | .006 | .014 | .028 | .056 | .107 | .197 | .349 | .599 |
n = 11
| p | .01 | .05 | .dix | .15 | .20 | .25 | .30 | .35 | .40 | .45 | .50 | .55 | .60 | .65 | .70 | .75 | .80 | .85 | .90 | .95 | |
| r | 0 | .895 | .569 | .314 | .167 | .086 | .042 | .020 | .009 | .004 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 |
| 1 | .099 | .329 | .384 | .325 | .236 | .155 | .093 | .052 | .027 | .013 | .005 | .002 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 2 | .005 | .087 | .213 | .287 | .295 | .258 | .200 | .140 | .089 | .051 | .027 | .013 | .005 | .002 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 3 | .000 | .014 | .071 | .152 | .221 | .258 | .257 | .225 | .177 | .126 | .081 | .046 | .023 | .010 | .004 | .001 | .000 | .000 | .000 | .000 | |
| 4 | .000 | .001 | .016 | .054 | .111 | .172 | .220 | .243 | .236 | .206 | .161 | .113 | .070 | .038 | .017 | .006 | .002 | .000 | .000 | .000 | |
| 5 | .000 | .000 | .002 | .013 | .039 | .080 | .132 | .183 | .221 | .236 | .226 | .193 | .147 | .099 | .057 | .027 | .010 | .002 | .000 | .000 | |
| 6 | .000 | .000 | .000 | .002 | .010 | .027 | .057 | .099 | .147 | .193 | .226 | .236 | .221 | .183 | .132 | .080 | .039 | .013 | .002 | .000 | |
| sept | .000 | .000 | .000 | .000 | .002 | .006 | .017 | .038 | .070 | .113 | .161 | .206 | .236 | .243 | .220 | .172 | .111 | .054 | .016 | .001 | |
| 8 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .010 | .023 | .046 | .081 | .126 | .177 | .225 | .257 | .258 | .221 | .152 | .071 | .014 | |
| 9 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .002 | .005 | .013 | .027 | .051 | .089 | .140 | .200 | .258 | .295 | .287 | .213 | .087 | |
| dix | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .002 | .005 | .013 | .027 | .052 | .093 | .155 | .236 | .325 | .384 | .329 | |
| 11 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .000 | .001 | .004 | .009 | .020 | .042 | .086 | .167 | .314 | .569 |
