Calculs avec la fonction gamma

La fonction gamma est définie par la formule complexe suivante:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Une question que les gens se posent lorsqu'ils rencontrent pour la première fois cette équation déroutante est: «Comment utilisez-vous cette formule pour calculer les valeurs de la fonction gamma?» C'est une question importante car il est difficile de savoir ce que cette fonction signifie même et ce que tout cela signifie. les symboles représentent.

Une façon de répondre à cette question consiste à examiner plusieurs exemples de calculs avec la fonction gamma. Avant de faire cela, il y a quelques choses du calcul que nous devons savoir, comme comment intégrer une intégrale impropre de type I, et que e est une constante mathématique. 

Motivation

Avant de faire des calculs, nous examinons la motivation derrière ces calculs. Plusieurs fois, les fonctions gamma apparaissent dans les coulisses. Plusieurs fonctions de densité de probabilité sont exprimées en termes de fonction gamma. La distribution gamma et la distribution t des élèves en sont des exemples. L'importance de la fonction gamma ne peut pas être surestimée.. 

Γ (1)

Le premier exemple de calcul que nous étudierons consiste à trouver la valeur de la fonction gamma pour Γ (1). Cela se trouve en définissant z = 1 dans la formule ci-dessus:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Nous calculons l'intégrale ci-dessus en deux étapes:

• L'intégrale indéfinie ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Ceci est une intégrale incorrecte, nous avons donc ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Γ (2)

Le prochain exemple de calcul que nous considérerons est similaire au dernier exemple, mais nous augmentons la valeur de z par 1. Nous calculons maintenant la valeur de la fonction gamma pour Γ (2) en définissant z = 2 dans la formule ci-dessus. Les étapes sont les mêmes que ci-dessus:

Γ (2) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

L'intégrale indéfinie ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Bien que nous n'ayons augmenté la valeur de z par 1, il faut plus de travail pour calculer cette intégrale. Pour trouver cette intégrale, il faut utiliser une technique de calcul appelée intégration par parties. Nous utilisons maintenant les limites d'intégration comme ci-dessus et devons calculer:

lim_{b → ∞} - être ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Un résultat du calcul connu sous le nom de règle de L'Hospital nous permet de calculer la limite lim_{b → ∞} - être ^{- b} = 0. Cela signifie que la valeur de notre intégrale ci-dessus est 1.

Γ (z +1) =zΓ (z )

Une autre caractéristique de la fonction gamma et qui la relie à la factorielle est la formule Γ (z +1) =zΓ (z ) pour z tout nombre complexe avec une partie réelle positive. La raison pour laquelle cela est vrai est le résultat direct de la formule de la fonction gamma. En utilisant l'intégration par parties, nous pouvons établir cette propriété de la fonction gamma.