Définition et utilisation de l'union en mathématiques

Une opération fréquemment utilisée pour former de nouveaux ensembles à partir d'anciens s'appelle l'union. Dans l'usage courant, le mot union signifie un rapprochement, tel que les syndicats du travail organisé ou le discours sur l'état de l'Union que le président américain prononce avant une session conjointe du Congrès. Au sens mathématique, l'union de deux ensembles conserve cette idée de rapprochement. Plus précisément, l'union de deux ensembles UNE et B est l'ensemble de tous les éléments X tel que X est un élément de l'ensemble UNE ou X est un élément de l'ensemble B. Le mot qui signifie que nous utilisons une union est le mot «ou».

Le mot "Ou"

Lorsque nous utilisons le mot «ou» dans les conversations quotidiennes, nous ne pouvons pas réaliser que ce mot est utilisé de deux manières différentes. Le chemin est généralement déduit du contexte de la conversation. Si on vous demandait «Aimeriez-vous le poulet ou le steak?», L'implication habituelle est que vous pouvez avoir l'un ou l'autre, mais pas les deux. Comparez cela à la question: «Souhaitez-vous du beurre ou de la crème sure sur votre pomme de terre au four?» Ici, «ou» est utilisé dans le sens inclus dans le sens où vous pouvez choisir uniquement du beurre, de la crème sure ou du beurre et de la crème sure.

En mathématiques, le mot «ou» est utilisé dans le sens inclusif. Ainsi, la déclaration, "X est un élément de UNE ou un élément de B"signifie que l'un des trois est possible:

• X est un élément de UNE et non un élément de B
• X est un élément de B et non un élément de UNE.
• X est un élément des deux UNE et B. (On pourrait aussi dire que X est un élément de l'intersection de UNE et B

Exemple

Pour un exemple de la façon dont l'union de deux ensembles forme un nouvel ensemble, considérons les ensembles UNE = 1, 2, 3, 4, 5 et B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Pour trouver l'union de ces deux ensembles, nous listons simplement tous les éléments que nous voyons, en faisant attention à ne pas dupliquer les éléments. Les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sont dans l'un ou l'autre ensemble, donc l'union de UNE et B est 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Notation pour l'Union

En plus de comprendre les concepts concernant les opérations de théorie des ensembles, il est important de pouvoir lire les symboles utilisés pour désigner ces opérations. Le symbole utilisé pour l'union des deux ensembles UNE et B est donné par UNE ∪ B. Une façon de se souvenir du symbole ∪ se réfère à l'union est de remarquer sa ressemblance avec un U majuscule, qui est l'abréviation du mot «union». Soyez prudent, car le symbole de l'union est très similaire au symbole de l'intersection. L'un est obtenu de l'autre par un retournement vertical.

Pour voir cette notation en action, reportez-vous à l'exemple ci-dessus. Ici, nous avions les ensembles UNE = 1, 2, 3, 4, 5 et B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Nous écririons donc l'équation d'ensemble UNE ∪ B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Union avec l'ensemble vide

Une identité de base qui implique l'union nous montre ce qui se passe lorsque nous prenons l'union d'un ensemble avec l'ensemble vide, notée # 8709. L'ensemble vide est l'ensemble sans éléments. Donc, le joindre à tout autre ensemble n'aura aucun effet. En d'autres termes, l'union de n'importe quel ensemble avec l'ensemble vide nous donnera le jeu d'origine

Cette identité devient encore plus compacte avec l'utilisation de notre notation. Nous avons l'identité: UNE ∪ ∅ = UNE.

Union avec l'ensemble universel

À l'autre extrême, que se passe-t-il lorsque nous examinons l'union d'un ensemble avec l'ensemble universel? Puisque l'ensemble universel contient tous les éléments, nous ne pouvons rien ajouter d'autre à cela. Ainsi, l'union ou tout ensemble avec l'ensemble universel est l'ensemble universel.

Encore une fois, notre notation nous aide à exprimer cette identité dans un format plus compact. Pour tout ensemble UNE et l'ensemble universel U, UNE ∪ U = U.

Autres identités impliquant l'Union

Il existe de nombreuses autres identités fixes qui impliquent l'utilisation de l'opération syndicale. Bien sûr, il est toujours bon de pratiquer en utilisant le langage de la théorie des ensembles. Quelques-uns des plus importants sont indiqués ci-dessous. Pour tous les ensembles UNE, et B et ré on a:

• Propriété réflexive: UNE ∪ UNE =UNE
• Propriété commutative: UNE ∪ B = B ∪ UNE
• Propriété associative: (UNE ∪ B) ∪ ré =UNE ∪ (B ∪ ré)
• Loi I de DeMorgan: (UNE ∩ B)^C = UNE^C ∪ B^C
• Loi II de DeMorgan: (UNE ∪ B)^C = UNE^C ∩ B^C