Valeur attendue pour Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck est un jeu de hasard. Trois dés sont lancés, parfois dans une trame métallique. En raison de ce cadre, ce jeu est également appelé cage à oiseaux. Ce jeu est plus souvent vu dans les carnavals plutôt que dans les casinos. Cependant, en raison de l'utilisation de dés aléatoires, nous pouvons utiliser la probabilité pour analyser ce jeu. Plus précisément, nous pouvons calculer la valeur attendue de ce jeu.

Paris

Il existe plusieurs types de paris sur lesquels il est possible de parier. Nous ne considérerons que la mise à numéro unique. Sur ce pari, nous choisissons simplement un nombre spécifique de un à six. Ensuite, nous lançons les dés. Considérez les possibilités. Tous les dés, deux d'entre eux, l'un d'eux ou aucun ne pouvait montrer le nombre que nous avons choisi.

Supposons que ce jeu paie ce qui suit:

• 3 $ si les trois dés correspondent au nombre choisi.
• 2 $ si exactement deux dés correspondent au nombre choisi.
• 1 $ si exactement l'un des dés correspond au nombre choisi.

Si aucun des dés ne correspond au nombre choisi, alors nous devons payer 1 $.

Quelle est la valeur attendue de ce jeu? En d'autres termes, à long terme, combien en moyenne nous espérerions gagner ou perdre si nous jouions à ce jeu à plusieurs reprises?

Probabilités

Afin de trouver la valeur attendue de ce jeu, nous devons déterminer quatre probabilités. Ces probabilités correspondent aux quatre résultats possibles. On note que chaque dé est indépendant des autres. En raison de cette indépendance, nous utilisons la règle de multiplication. Cela nous aidera à déterminer le nombre de résultats.

Nous supposons également que les dés sont justes. Chacun des six côtés de chacun des trois dés est également susceptible d'être lancé.

Il y a 6 x 6 x 6 = 216 résultats possibles en lançant ces trois dés. Ce nombre sera le dénominateur de toutes nos probabilités.

Il existe un moyen de faire correspondre les trois dés avec le nombre choisi.

Il existe cinq façons pour un seul dé de ne pas correspondre à notre nombre choisi. Cela signifie qu'il n'y a 5 x 5 x 5 = 125 façons pour aucun de nos dés de correspondre au nombre qui a été choisi.

Si nous considérons exactement deux des dés correspondants, nous avons un dé qui ne correspond pas.

• Il y a 1 x 1 x 5 = 5 façons pour que les deux premiers dés correspondent à notre nombre et que le troisième soit différent.
• Il y a 1 x 5 x 1 = 5 façons de faire correspondre les premier et troisième dés, le second étant différent.
• Il y a 5 x 1 x 1 = 5 façons pour que le premier dé soit différent et que les deuxième et troisième correspondent.

Cela signifie qu'il y a un total de 15 façons de faire correspondre exactement deux dés.

Nous avons maintenant calculé le nombre de façons d'obtenir tous nos résultats sauf un. Il y a 216 rouleaux possibles. Nous en avons représenté 1 + 15 + 125 = 141. Cela signifie qu'il reste 216 -141 = 75.

Nous collectons toutes les informations ci-dessus et voyons:

• La probabilité que notre nombre corresponde aux trois dés est de 1/216.
• La probabilité que notre nombre corresponde exactement à deux dés est de 15/216.
• La probabilité que notre nombre corresponde exactement à un dé est de 75/216.
• La probabilité que notre nombre ne corresponde à aucun des dés est de 125/216.

Valeur attendue

Nous sommes maintenant prêts à calculer la valeur attendue de cette situation. La formule de la valeur attendue nous oblige à multiplier la probabilité de chaque événement par le gain ou la perte nette si l'événement se produit. Nous ajoutons ensuite tous ces produits ensemble.

Le calcul de la valeur attendue est le suivant:

(3) (1/216) + (2) (15/216) + (1) (75/216) + (- 1) (125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125 / 216 = -17/216

C'est environ - 0,08 $. L'interprétation est que si nous jouions à ce jeu à plusieurs reprises, nous perdrions en moyenne 8 cents chaque fois que nous jouions.