Valeur attendue d'une distribution binomiale

Les distributions binomiales sont une classe importante de distributions de probabilité discrètes. Ces types de distributions sont une série de n essais de Bernoulli indépendants, dont chacun a une probabilité constante p de succès. Comme pour toute distribution de probabilité, nous aimerions savoir quelle est sa moyenne ou son centre. Pour cela, nous demandons vraiment, "Quelle est la valeur attendue de la distribution binomiale?"

Intuition vs preuve

Si nous réfléchissons soigneusement à une distribution binomiale, il n'est pas difficile de déterminer que la valeur attendue de ce type de distribution de probabilité est np. Pour quelques exemples rapides de ceci, considérez ce qui suit:

• Si nous jetons 100 pièces, et X est le nombre de têtes, la valeur attendue de X est 50 = (1/2) 100.
• Si nous faisons un test à choix multiple avec 20 questions et que chaque question a quatre choix (dont un seul est correct), alors deviner au hasard signifierait que nous nous attendrions à ce que (1/4) 20 = 5 questions soient correctes.

Dans ces deux exemples, nous voyons que E [X] = n p. Deux cas suffisent à peine pour parvenir à une conclusion. Bien que l'intuition soit un bon outil pour nous guider, il ne suffit pas de former un argument mathématique et de prouver que quelque chose est vrai. Comment prouver définitivement que la valeur attendue de cette distribution est bien np?

D'après la définition de la valeur attendue et la fonction de masse de probabilité pour la distribution binomiale de n essais de probabilité de succès p, nous pouvons démontrer que notre intuition correspond aux fruits de la rigueur mathématique. Nous devons être quelque peu prudents dans notre travail et agiles dans nos manipulations du coefficient binomial qui est donné par la formule des combinaisons.

Nous commençons par utiliser la formule:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) p^X(1-p)^{n - x}.

Étant donné que chaque terme de la somme est multiplié par X, la valeur du terme correspondant à x = 0 sera 0, et donc nous pouvons réellement écrire:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

En manipulant les factorielles impliquées dans l'expression de C (n, x) on peut réécrire

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Cela est vrai parce que:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Il s'ensuit que:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

Nous prenons en compte n et une p à partir de l'expression ci-dessus: