Fonction exponentielle et décroissance

En mathématiques, la décroissance exponentielle décrit le processus de réduction d'une quantité d'un pourcentage constant sur une période de temps. Il peut être exprimé par la formule y = a (1-b)^X où y est le montant final, une est le montant d'origine, b est le facteur de désintégration, et X est le temps qui s'est écoulé.

La formule de décroissance exponentielle est utile dans une variété d'applications du monde réel, notamment pour suivre l'inventaire qui est utilisé régulièrement en même quantité (comme la nourriture pour une cafétéria d'école) et elle est particulièrement utile dans sa capacité à évaluer rapidement le coût à long terme d'utilisation d'un produit dans le temps.

La désintégration exponentielle est différente de la désintégration linéaire en ce que le facteur de désintégration repose sur un pourcentage de la quantité d'origine, ce qui signifie que le nombre réel dont la quantité originale pourrait être réduite changera avec le temps tandis qu'une fonction linéaire diminue le nombre d'origine de la même quantité à chaque fois. temps.

C'est également l'opposé de la croissance exponentielle, qui se produit généralement sur les marchés boursiers où la valeur d'une entreprise augmentera de façon exponentielle au fil du temps avant d'atteindre un plateau. Vous pouvez comparer et contraster les différences entre la croissance exponentielle et la décroissance, mais c'est assez simple: l'un augmente la quantité d'origine et l'autre la diminue.

Éléments d'une formule de décroissance exponentielle

Pour commencer, il est important de reconnaître la formule de décroissance exponentielle et de pouvoir identifier chacun de ses éléments:

y = a (1-b)^X

Afin de bien comprendre l'utilité de la formule de désintégration, il est important de comprendre comment chacun des facteurs est défini, en commençant par l'expression "facteur de désintégration" représentée par la lettre b dans la formule de décroissance exponentielle - qui est un pourcentage par lequel le montant d'origine diminuera à chaque fois.

Le montant d'origine ici représenté par la lettre une dans la formule - est la quantité avant la décomposition, donc si vous pensez à cela dans un sens pratique, la quantité d'origine serait la quantité de pommes qu'une boulangerie achète et le facteur exponentiel serait le pourcentage de pommes utilisées chaque heure faire des tartes.

L'exposant, qui dans le cas de la décroissance exponentielle est toujours le temps et exprimé par la lettre x, représente la fréquence de la décroissance et est généralement exprimé en secondes, minutes, heures, jours ou années.

Un exemple de décroissance exponentielle

Utilisez l'exemple suivant pour comprendre le concept de décroissance exponentielle dans un scénario réel:

Lundi, la cafétéria de Ledwith dessert 5 000 clients, mais mardi matin, les informations locales rapportent que le restaurant échoue à l'inspection sanitaire et fait des bêtises! - des violations liées à la lutte antiparasitaire. Mardi, la cafétéria dessert 2 500 clients. Mercredi, la cafétéria ne dessert que 1 250 clients. Jeudi, la cafétéria sert une maigre 625 clients.

Comme vous pouvez le constater, le nombre de clients a diminué de 50% chaque jour. Ce type de déclin diffère d'une fonction linéaire. Dans une fonction linéaire, le nombre de clients diminuerait chaque jour du même montant. Le montant d'origine (une) serait de 5 000, le facteur de désintégration (b ) serait donc de 0,5 (50 pour cent écrit sous forme décimale) et la valeur du temps (X) serait déterminé par le nombre de jours que Ledwith souhaite prévoir pour.

Si Ledwith demandait combien de clients il perdrait en cinq jours si la tendance se poursuivait, son comptable pourrait trouver la solution en branchant tous les chiffres ci-dessus dans la formule de décroissance exponentielle pour obtenir ce qui suit:

y = 5000 (1-0,5)⁵

La solution est de 312 et demi, mais comme vous ne pouvez pas avoir un demi-client, le comptable arrondirait le nombre à 313 et pourrait dire que dans cinq jours, Ledwith pourrait s'attendre à perdre 313 autres clients!