Comment trouver les points d'inflexion d'une distribution normale

Une chose qui est géniale avec les mathématiques est la façon dont des domaines apparemment sans rapport avec le sujet se rejoignent de manière surprenante. Un exemple de ceci est l'application d'une idée du calcul à la courbe en cloche. Un outil de calcul appelé dérivé est utilisé pour répondre à la question suivante. Où sont les points d'inflexion sur le graphique de la fonction de densité de probabilité pour la distribution normale?

Points d'inflections

Les courbes ont une variété de fonctionnalités qui peuvent être classées et classées. Un élément concernant les courbes que nous pouvons considérer est de savoir si le graphique d'une fonction augmente ou diminue. Une autre caractéristique concerne quelque chose connu sous le nom de concavité. Cela peut être considéré comme la direction à laquelle une partie de la courbe fait face. Plus formellement, la concavité est le sens de la courbure.

Une partie d'une courbe est dite concave vers le haut si elle a la forme de la lettre U. Une partie d'une courbe est concave vers le bas si elle a la forme suivante ∩. Il est facile de se rappeler à quoi cela ressemble si nous pensons à une grotte qui s'ouvre vers le haut pour le concave vers le haut ou vers le bas pour le concave vers le bas. Un point d'inflexion est l'endroit où une courbe change de concavité. En d'autres termes, c'est un point où une courbe va de concave vers le haut jusqu'à concave vers le bas, ou vice versa.

Second dérivés

Dans le calcul, la dérivée est un outil utilisé de diverses manières. Alors que l'utilisation la plus connue de la dérivée est de déterminer la pente d'une ligne tangente à une courbe en un point donné, il existe d'autres applications. L'une de ces applications concerne la recherche de points d'inflexion du graphe d'une fonction.

Si le graphique de y = f (x) a un point d'inflexion à x = a, puis la dérivée seconde de F évalué à une est zéro. Nous écrivons ceci en notation mathématique comme FA ) = 0. Si la dérivée seconde d'une fonction est nulle en un point, cela n'implique pas automatiquement que nous avons trouvé un point d'inflexion. Cependant, nous pouvons rechercher des points d'inflexion potentiels en voyant où la dérivée seconde est nulle. Nous utiliserons cette méthode pour déterminer l'emplacement des points d'inflexion de la distribution normale.

Points d'inflexion de la courbe en cloche

Une variable aléatoire qui est normalement distribuée avec la moyenne μ et l'écart-type de σ a une fonction de densité de probabilité de

f (x) = 1 / (σ √ (2 π)) exp [- (x - μ)²/ (2σ²)].

Ici, nous utilisons la notation exp [y] = e^y, où e est la constante mathématique approximée par 2,71828.

La dérivée première de cette fonction de densité de probabilité est trouvée en connaissant la dérivée de e^X et appliquer la règle de chaîne.

f '(x) = - (x - μ) / (σ³ √ (2 π)) exp [- (x -μ) ²/ (2σ²)] = - (x - μ) f (x) / σ².

Nous calculons maintenant la dérivée seconde de cette fonction de densité de probabilité. Nous utilisons la règle du produit pour voir que:

f "(x) = - f (x) / σ² - (x - μ) f '(x) / σ²

Simplifier cette expression que nous avons

f "(x) = - f (x) / σ² + (x - μ)² f (x) / (σ⁴)

Définissez maintenant cette expression sur zéro et résolvez X. Puisque f (x) est une fonction non nulle, nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation par cette fonction.