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Comment prouver les lois de De Morgan

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En statistiques mathématiques et probabilités, il est important de se familiariser avec la théorie des ensembles. Les opérations élémentaires de la théorie des ensembles ont des liens avec certaines règles dans le calcul des probabilités. Les interactions de ces opérations d'ensemble élémentaires d'union, d'intersection et de complément sont expliquées par deux déclarations connues sous le nom de lois de De Morgan. Après avoir énoncé ces lois, nous verrons comment les prouver.

Énoncé des lois de De Morgan

Les lois de De Morgan concernent l'interaction de l'union, de l'intersection et du complément. Rappeler que:

  • L'intersection des ensembles UNE et B se compose de tous les éléments communs aux deux UNE et B. L'intersection est indiquée par UNE ∩ B.
  • L'union des décors UNE et B se compose de tous les éléments qui, soit dans UNE ou B, y compris les éléments dans les deux ensembles. L'intersection est notée A U B.
  • Le complément de l'ensemble UNE se compose de tous les éléments qui ne sont pas des éléments de UNE. Ce complément est noté AC.

Maintenant que nous avons rappelé ces opérations élémentaires, nous allons voir l'énoncé des lois de De Morgan. Pour chaque paire d'ensembles UNE et B

  1. (UNE ∩ B)C = UNEC U BC.
  2. (UNE U B)C = UNEC ∩ BC.

Aperçu de la stratégie de preuve

Avant de sauter dans la preuve, nous réfléchirons à la façon de prouver les déclarations ci-dessus. Nous essayons de démontrer que deux ensembles sont égaux l'un à l'autre. La façon dont cela est fait dans une preuve mathématique est par la procédure de double inclusion. Les grandes lignes de cette méthode de preuve sont les suivantes:

  1. Montrez que l'ensemble sur le côté gauche de notre signe égal est un sous-ensemble de l'ensemble sur la droite.
  2. Répétez le processus dans la direction opposée, montrant que l'ensemble de droite est un sous-ensemble de l'ensemble de gauche.
  3. Ces deux étapes nous permettent de dire que les ensembles sont en fait égaux entre eux. Ils se composent tous des mêmes éléments.

Preuve d'une des lois

Nous verrons comment prouver la première des lois de De Morgan ci-dessus. Nous commençons par montrer que (UNE ∩ B)C est un sous-ensemble de UNEC U BC.

  1. Supposons d'abord que X est un élément de (UNE ∩ B)C.
  2. Cela signifie que X n'est pas un élément de (UNE ∩ B).
  3. Puisque l'intersection est l'ensemble de tous les éléments communs aux deux UNE et B, l'étape précédente signifie que X ne peut pas être un élément des deux UNE et B.
  4. Cela signifie que X doit être un élément d'au moins un des ensembles UNEC ou BC.
  5. Par définition, cela signifie que X est un élément de UNEC U BC
  6. Nous avons montré l'inclusion de sous-ensemble souhaitée.

Notre preuve est maintenant à mi-chemin. Pour le compléter, nous montrons l'inclusion du sous-ensemble opposé. Plus précisément, nous devons montrer UNEC U BC est un sous-ensemble de (UNE ∩ B)C.

  1. Nous commençons par un élément X dans l'ensemble UNEC U BC.
  2. Cela signifie que X est un élément de UNEC ou ça X est un élément de BC.
  3. Donc X n'est pas un élément d'au moins un des ensembles UNE ou B.
  4. Donc X ne peut pas être un élément des deux UNE et B. Cela signifie que X est un élément de (UNE ∩ B)C.
  5. Nous avons montré l'inclusion de sous-ensemble souhaitée.

Preuve de l'autre loi

La preuve de l'autre déclaration est très similaire à la preuve que nous avons décrite ci-dessus. Tout ce qui doit être fait est de montrer une inclusion de sous-ensemble d'ensembles des deux côtés du signe égal.

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