Comment prouver la règle du complément en probabilité

Plusieurs théorèmes de probabilité peuvent être déduits des axiomes de probabilité. Ces théorèmes peuvent être appliqués pour calculer des probabilités que nous pourrions vouloir connaître. Un tel résultat est connu comme la règle du complément. Cette déclaration nous permet de calculer la probabilité d'un événement UNE en connaissant la probabilité du complément UNE^C. Après avoir énoncé la règle du complément, nous verrons comment ce résultat peut être prouvé.

La règle du complément

Le complément de l'événement UNE est désigné par UNE^C. Le complément de UNE est l'ensemble de tous les éléments de l'ensemble universel, ou espace échantillon S, qui ne sont pas des éléments de l'ensemble UNE.

La règle du complément est exprimée par l'équation suivante:

P (UNE^C) = 1 - P (UNE)

Nous voyons ici que la probabilité d'un événement et la probabilité de son complément doivent totaliser 1.

Preuve de la règle du complément

Pour prouver la règle du complément, nous commençons par les axiomes de probabilité. Ces déclarations sont supposées sans preuve. Nous verrons qu'elles peuvent être systématiquement utilisées pour prouver notre affirmation concernant la probabilité du complément d'un événement.

• Le premier axiome de probabilité est que la probabilité de tout événement est un nombre réel non négatif.
• Le deuxième axiome de probabilité est que la probabilité de tout l'espace d'échantillon S est une. On écrit symboliquement P (S) = 1.
• Le troisième axiome de probabilité déclare que si UNE et B s'excluent mutuellement (c'est-à-dire qu'ils ont une intersection vide), alors nous déclarons la probabilité de l'union de ces événements comme P (UNE U B ) = P (UNE) + P (B).

Pour la règle du complément, nous n'aurons pas besoin d'utiliser le premier axiome de la liste ci-dessus.

Pour prouver notre déclaration, nous considérons les événements UNEet UNE^C. De la théorie des ensembles, nous savons que ces deux ensembles ont une intersection vide. En effet, un élément ne peut pas être simultanément dans les deux UNE et pas dans UNE. Puisqu'il y a une intersection vide, ces deux ensembles s'excluent mutuellement.

L'union des deux événements UNE et UNE^C sont également importants. Ceux-ci constituent des événements exhaustifs, ce qui signifie que l'union de ces événements est tout l'espace d'échantillonnage S.

Ces faits, combinés avec les axiomes nous donnent l'équation

1 = P (S) = P (UNE U UNE^C) = P (UNE) + P (UNE^C) .

La première égalité est due au deuxième axiome de probabilité. La deuxième égalité est parce que les événements UNE et UNE^C sont exhaustifs. La troisième égalité est due au troisième axiome de probabilité.

L'équation ci-dessus peut être réorganisée sous la forme que nous avons indiquée ci-dessus. Tout ce que nous devons faire est de soustraire la probabilité de UNE des deux côtés de l'équation. Donc

1 = P (UNE) + P (UNE^C)

devient l'équation

P (UNE^C) = 1 - P (UNE).

Bien sûr, nous pourrions également exprimer la règle en déclarant que:

P (UNE) = 1 - P (UNE^C).

Ces trois équations sont des façons équivalentes de dire la même chose. Nous voyons à partir de cette preuve comment seulement deux axiomes et une théorie des ensembles vont un long chemin pour nous aider à prouver de nouvelles déclarations concernant la probabilité.