Comment utiliser «si et seulement si» en mathématiques

Lors de la lecture sur les statistiques et les mathématiques, une phrase qui apparaît régulièrement est «si et seulement si». Cette phrase apparaît particulièrement dans les énoncés de théorèmes mathématiques ou de preuves. Mais que signifie précisément cette déclaration?

Que signifie si et seulement si cela signifie en mathématiques?

Pour comprendre «si et seulement si», nous devons d'abord savoir ce que l'on entend par une déclaration conditionnelle. Une déclaration conditionnelle est une déclaration qui est formée de deux autres déclarations, que nous désignerons par P et Q. Pour former une déclaration conditionnelle, nous pourrions dire «si P alors Q.»

Voici des exemples de ce type de déclaration:

• S'il pleut dehors, alors je prends mon parapluie avec moi pour ma marche.
• Si vous étudiez dur, vous gagnerez un A.
• Si n est divisible par 4, alors n est divisible par 2.

Converse et Conditionnels

Trois autres déclarations sont liées à toute déclaration conditionnelle. Celles-ci sont appelées l'inverse, l'inverse et la contrapositive. Nous formons ces déclarations en changeant l'ordre de P et Q du conditionnel d'origine et en insérant le mot «non» pour l'inverse et la contrapositive.

Il suffit de considérer l'inverse ici. Cette déclaration est obtenue à partir de l'original en disant «si Q puis P.» Supposons que nous commençons par le conditionnel «s'il pleut à l'extérieur, alors je prends mon parapluie avec moi lors de ma marche». L'inverse de cette déclaration est «si je prenez mon parapluie avec moi lors de ma marche, puis il pleut dehors. »

Il suffit de considérer cet exemple pour se rendre compte que le conditionnel d'origine n'est pas logiquement le même que son inverse. La confusion de ces deux formulaires de déclaration est connue comme une erreur inverse. On peut prendre un parapluie en promenade même s'il ne pleut pas dehors.

Pour un autre exemple, nous considérons le conditionnel «Si un nombre est divisible par 4 alors il est divisible par 2.» Cette affirmation est clairement vraie. Cependant, l'inverse de cette affirmation «Si un nombre est divisible par 2, alors il est divisible par 4» est faux. Il suffit de regarder un nombre tel que 6. Bien que 2 divise ce nombre, 4 ne le fait pas. Bien que la déclaration d'origine soit vraie, son contraire n'est pas.

Biconditionnel

Cela nous amène à une déclaration biconditionnelle, qui est également connue comme une déclaration «si et seulement si». Certaines instructions conditionnelles ont également des conversions qui sont vraies. Dans ce cas, nous pouvons former ce que l'on appelle une déclaration biconditionnelle. Une déclaration biconditionnelle a la forme:

"Si P alors Q, et si Q alors P."

Étant donné que cette construction est quelque peu maladroite, en particulier lorsque P et Q sont leurs propres instructions logiques, nous simplifions l'énoncé d'une condition biconditionnelle en utilisant l'expression «si et seulement si». Plutôt que de dire "si P alors Q, et si Q alors P", nous disons plutôt "P si et seulement si Q." Cette construction élimine une certaine redondance.

Exemple de statistiques

Pour un exemple de l'expression «si et seulement si» qui implique des statistiques, ne cherchez pas plus loin qu'un fait concernant l'écart-type de l'échantillon. L'écart type d'échantillon d'un ensemble de données est égal à zéro si et seulement si toutes les valeurs de données sont identiques.

Nous divisons cette déclaration biconditionnelle en une conditionnelle et son inverse. Ensuite, nous voyons que cette déclaration signifie les deux choses suivantes:

• Si l'écart-type est nul, toutes les valeurs de données sont identiques.
• Si toutes les valeurs des données sont identiques, l'écart-type est égal à zéro.

Preuve de biconditionnel

Si nous essayons de prouver un biconditionnel, la plupart du temps nous finissons par le diviser. Cela rend notre preuve en deux parties. Une partie que nous prouvons est «si P alors Q.» L'autre partie de la preuve dont nous avons besoin est «si Q alors P.»

Conditions nécessaires et suffisantes

Les déclarations biconditionnelles sont liées à des conditions à la fois nécessaires et suffisantes. Considérez la déclaration «si aujourd'hui c'est Pâques, alors demain c'est lundi». Aujourd'hui, Pâques est suffisant pour que demain soit lundi, mais ce n'est pas nécessaire. Aujourd'hui pourrait être n'importe quel dimanche autre que Pâques, et demain serait toujours lundi.

Abréviation

L'expression «si et seulement si» est utilisée assez couramment dans l'écriture mathématique pour avoir sa propre abréviation. Parfois, le biconditionnel dans l'énoncé de l'expression «si et seulement si» est simplement abrégé en «ssi». Ainsi, l'énoncé «P si et seulement si Q» devient «P ssi Q.»