Introduction aux mathématiques vectorielles

Il s'agit d'une introduction de base, bien que nous espérons assez complète, à l'utilisation des vecteurs. Les vecteurs se manifestent de différentes manières, depuis le déplacement, la vitesse et l'accélération jusqu'aux forces et aux champs. Cet article est consacré aux mathématiques des vecteurs; leur application dans des situations spécifiques sera traitée ailleurs.

Vecteurs et scalaires

UNE quantité de vecteur, ou vecteur, fournit des informations non seulement sur l'ampleur mais aussi sur la direction de la quantité. Lorsque vous donnez des directions à une maison, il ne suffit pas de dire qu'elle est à 10 miles de distance, mais la direction de ces 10 miles doit également être fournie pour que les informations soient utiles. Les variables qui sont des vecteurs seront indiquées par une variable en gras, bien qu'il soit courant de voir des vecteurs indiqués par de petites flèches au-dessus de la variable.

Tout comme nous ne disons pas que l'autre maison est à -10 miles, la magnitude d'un vecteur est toujours un nombre positif, ou plutôt la valeur absolue de la "longueur" du vecteur (bien que la quantité ne soit pas nécessairement une longueur, cela peut être une vitesse, une accélération, une force, etc.) Un négatif devant un vecteur n'indique pas un changement de magnitude, mais plutôt dans la direction du vecteur.

Dans les exemples ci-dessus, la distance est la quantité scalaire (10 miles) mais déplacement est la quantité vectorielle (10 miles au nord-est). De même, la vitesse est une quantité scalaire tandis que la vitesse est une quantité vectorielle.

UNE vecteur d'unité est un vecteur de magnitude un. Un vecteur représentant un vecteur unitaire est généralement également en gras, bien qu'il ait un carat (^) au-dessus pour indiquer la nature unitaire de la variable. Le vecteur unitaire X, lorsqu'il est écrit avec un carat, est généralement lu comme "x-hat" parce que le carat ressemble un peu à un chapeau sur la variable.

le vecteur zéro, ou vecteur nul, est un vecteur d'une magnitude nulle. Il est écrit comme 0 dans cet article.

Composants vectoriels

Les vecteurs sont généralement orientés sur un système de coordonnées, dont le plus populaire est le plan cartésien bidimensionnel. Le plan cartésien a un axe horizontal appelé x et un axe vertical appelé y. Certaines applications avancées des vecteurs en physique nécessitent l'utilisation d'un espace tridimensionnel, dans lequel les axes sont x, y et z. Cet article traitera principalement du système à deux dimensions, bien que les concepts puissent être étendus avec soin à trois dimensions sans trop de problèmes.

Les vecteurs dans les systèmes de coordonnées à plusieurs dimensions peuvent être divisés en leurs vecteurs composants. Dans le cas bidimensionnel, cela se traduit par un composant x et un composante y. Lors de la division d'un vecteur en ses composants, le vecteur est une somme des composants:

F = F_X + F_y

thêtaF_XF_yF

F_X / F = cos thêta et F_y / F = péché thêtace qui nous donne
F_X = F cos thêta et F_y = F péché thêta

Notez que les nombres ici sont les magnitudes des vecteurs. Nous connaissons la direction des composants, mais nous essayons de trouver leur magnitude, nous supprimons donc les informations directionnelles et effectuons ces calculs scalaires pour déterminer la magnitude. Une application plus poussée de la trigonométrie peut être utilisée pour trouver d'autres relations (telles que la tangente) reliant certaines de ces quantités, mais je pense que cela suffit pour l'instant.

Pendant de nombreuses années, les seules mathématiques qu'un étudiant apprend sont les mathématiques scalaires. Si vous voyagez 5 miles au nord et 5 miles à l'est, vous avez parcouru 10 miles. L'ajout de quantités scalaires ignore toutes les informations sur les directions.

Les vecteurs sont manipulés quelque peu différemment. La direction doit toujours être prise en compte lors de leur manipulation.

Ajout de composants

Lorsque vous ajoutez deux vecteurs, c'est comme si vous preniez les vecteurs et les plaçiez bout à bout et créiez un nouveau vecteur allant du point de départ au point d'arrivée. Si les vecteurs ont la même direction, cela signifie simplement ajouter les grandeurs, mais s'ils ont des directions différentes, cela peut devenir plus complexe.