Règle de multiplication pour les événements indépendants

Il est important de savoir comment calculer la probabilité d'un événement. Certains types d'événements en probabilité sont appelés indépendants. Lorsque nous avons une paire d'événements indépendants, nous pouvons parfois demander: "Quelle est la probabilité que ces deux événements se produisent?" Dans cette situation, nous pouvons simplement multiplier nos deux probabilités ensemble.

Nous verrons comment utiliser la règle de multiplication pour des événements indépendants. Après avoir passé en revue les bases, nous verrons les détails de quelques calculs.

Définition d'événements indépendants

Nous commençons par une définition des événements indépendants. Probablement, deux événements sont indépendants si le résultat d'un événement n'influence pas le résultat du deuxième événement.

Un bon exemple d'une paire d'événements indépendants est lorsque nous lançons un dé, puis retournons une pièce. Le nombre affiché sur le dé n'a aucun effet sur la pièce qui a été lancée. Ces deux événements sont donc indépendants.

Un exemple d'une paire d'événements qui ne sont pas indépendants serait le sexe de chaque bébé dans un ensemble de jumeaux. Si les jumeaux sont identiques, alors les deux seront des hommes, ou les deux seront des femmes.

Énoncé de la règle de multiplication

La règle de multiplication pour les événements indépendants relie les probabilités de deux événements à la probabilité qu'ils se produisent tous les deux. Pour utiliser la règle, nous devons avoir les probabilités de chacun des événements indépendants. Compte tenu de ces événements, la règle de multiplication indique que la probabilité que les deux événements se produisent est trouvée en multipliant les probabilités de chaque événement.

Formule pour la règle de multiplication

La règle de multiplication est beaucoup plus facile à énoncer et à utiliser lorsque nous utilisons la notation mathématique.

Désigner les événements UNE et B et les probabilités de chacun par PENNSYLVANIE) et P (B). Si UNE et B sont des événements indépendants, alors:

PENNSYLVANIE et B) = P (A) X P (B)

Certaines versions de cette formule utilisent encore plus de symboles. Au lieu du mot «et», nous pouvons plutôt utiliser le symbole d'intersection: ∩. Parfois, cette formule est utilisée comme définition d'événements indépendants. Les événements sont indépendants si et seulement si PENNSYLVANIE et B) = P (A) X P (B).

Exemple # 1 d'utilisation de la règle de multiplication

Nous verrons comment utiliser la règle de multiplication en regardant quelques exemples. Supposons d'abord que nous lançons un dé à six faces, puis retournons une pièce. Ces deux événements sont indépendants. La probabilité de lancer un 1 est de 1/6. La probabilité d'une tête est de 1/2. La probabilité de rouler un 1 et obtenir une tête est 1/6 x 1/2 = 1/12.

Si nous étions enclins à être sceptiques à propos de ce résultat, cet exemple est suffisamment petit pour que tous les résultats puissent être répertoriés: (1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T). Nous voyons qu'il y a douze résultats, qui sont tous également susceptibles de se produire. Par conséquent, la probabilité de 1 et d'une tête est de 1/12. La règle de multiplication était beaucoup plus efficace car elle ne nous obligeait pas à répertorier notre espace d'échantillonnage complet.

Exemple # 2 de l'utilisation de la règle de multiplication

Pour le deuxième exemple, supposons que nous tirons une carte d'un jeu standard, remplacez cette carte, mélangez le jeu puis tirez à nouveau. Nous demandons ensuite quelle est la probabilité que les deux cartes soient rois. Puisque nous avons dessiné avec remplacement, ces événements sont indépendants et la règle de multiplication s'applique. 

La probabilité de tirer un roi pour la première carte est de 1/13. La probabilité de tirer un roi au deuxième tirage est de 1/13. La raison en est que nous remplaçons le roi que nous avons dessiné dès la première fois. Puisque ces événements sont indépendants, nous utilisons la règle de multiplication pour voir que la probabilité de tirer deux rois est donnée par le produit suivant 1/13 x 1/13 = 1/169.