Probabilités et dés du menteur

De nombreux jeux de hasard peuvent être analysés à l'aide des mathématiques de probabilité. Dans cet article, nous examinerons divers aspects du jeu appelé Liar's Dice. Après avoir décrit ce jeu, nous calculerons les probabilités qui y sont liées.

Une brève description des dés de menteur

Le jeu de Liar's Dice est en fait une famille de jeux impliquant le bluff et la tromperie. Il existe un certain nombre de variantes de ce jeu, et il porte plusieurs noms différents tels que Pirate's Dice, Deception et Dudo. Une version de ce jeu a été présentée dans le film Pirates des Caraïbes: Dead Man's Chest.

Dans la version du jeu que nous allons examiner, chaque joueur a une tasse et un ensemble du même nombre de dés. Les dés sont des dés à six faces standard qui sont numérotés de un à six. Tout le monde lance ses dés en les gardant couverts par la tasse. Au moment opportun, un joueur regarde son jeu de dés, les gardant cachés de tout le monde. Le jeu est conçu pour que chaque joueur ait une parfaite connaissance de son propre jeu de dés, mais n'a aucune connaissance des autres dés qui ont été lancés.

Une fois que tout le monde a eu l'occasion de regarder ses dés lancés, les enchères commencent. À chaque tour, un joueur a deux choix: faire une offre plus élevée ou appeler l'enchère précédente un mensonge. Les enchères peuvent être augmentées en offrant une valeur de dés plus élevée de un à six, ou en offrant un plus grand nombre de la même valeur de dés..

Par exemple, une enchère de «Trois deux» pourrait être augmentée en indiquant «Quatre deux». Elle pourrait également être augmentée en disant «Trois trois». En général, ni le nombre de dés ni la valeur des dés ne peuvent diminuer.

Comme la plupart des dés ne sont pas visibles, il est important de savoir comment calculer certaines probabilités. En sachant cela, il est plus facile de voir quelles offres sont vraisemblablement vraies et lesquelles sont susceptibles d'être des mensonges..

Valeur attendue

La première considération est de demander: «Combien de dés du même genre attendrions-nous?» Par exemple, si nous lançons cinq dés, combien de ces derniers nous attendrait-il à deux? La réponse à cette question utilise l'idée de valeur attendue.

La valeur attendue d'une variable aléatoire est la probabilité d'une valeur particulière, multipliée par cette valeur.

La probabilité que le premier dé soit un deux est de 1/6. Étant donné que les dés sont indépendants les uns des autres, la probabilité que l'un d'eux soit un deux est de 1/6. Cela signifie que le nombre attendu de deux roulés est 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Bien sûr, le résultat de deux n'a rien de spécial. Il n'y a rien de spécial non plus dans le nombre de dés que nous avons considéré. Si nous roulions n dés, alors le nombre attendu de l'un des six résultats possibles est n/ 6. Ce nombre est bon à connaître, car il nous donne une base de référence à utiliser pour remettre en question les offres faites par d'autres.

Par exemple, si nous jouons aux dés de menteur avec six dés, la valeur attendue de l'une des valeurs 1 à 6 est 6/6 = 1. Cela signifie que nous devons être sceptiques si quelqu'un offre plus d'une valeur quelconque. À long terme, nous ferions la moyenne de chacune des valeurs possibles.

Exemple de roulement exact

Supposons que nous lançons cinq dés et que nous voulons trouver la probabilité de lancer deux dés. La probabilité qu'un dé soit un trois est 1/6. La probabilité qu'un dé ne soit pas trois est de 5/6. Les jets de ces dés sont des événements indépendants, et donc nous multiplions les probabilités ensemble en utilisant la règle de multiplication.

La probabilité que les deux premiers dés soient trois et que les autres dés ne soient pas trois est donnée par le produit suivant:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Les deux premiers dés étant trois, ce n'est qu'une possibilité. Les dés qui sont trois pourraient être deux des cinq dés que nous lançons. Nous désignons un dé qui n'est pas un trois par un *. Voici les façons possibles d'avoir deux trois sur cinq rouleaux: