Probabilités de lancer deux dés
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Une façon populaire d'étudier la probabilité est de lancer des dés. Un dé standard a six faces imprimées avec de petits points numérotés 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Si le dé est juste (et nous supposerons que tous le sont), alors chacun de ces résultats est également probable. Puisqu'il y a six résultats possibles, la probabilité d'obtenir n'importe quel côté du dé est de 1/6. La probabilité de rouler un 1 est 1/6, la probabilité de rouler un 2 est 1/6, et ainsi de suite. Mais que se passe-t-il si nous ajoutons un autre dé? Quelles sont les probabilités de lancer deux dés?
Probabilité de lancer de dés
Pour déterminer correctement la probabilité d'un lancer de dés, nous devons savoir deux choses:
- La taille de l'espace d'échantillon ou l'ensemble des résultats possibles totaux
- Fréquence d'un événement
Probablement, un événement est un certain sous-ensemble de l'espace d'échantillonnage. Par exemple, lorsqu'un seul dé est lancé, comme dans l'exemple ci-dessus, l'espace d'échantillonnage est égal à toutes les valeurs du dé ou de l'ensemble (1, 2, 3, 4, 5, 6). Étant donné que le dé est juste, chaque nombre dans l'ensemble ne se produit qu'une seule fois. En d'autres termes, la fréquence de chaque nombre est 1. Pour déterminer la probabilité de lancer l'un des nombres sur le dé, nous divisons la fréquence des événements (1) par la taille de l'espace d'échantillonnage (6), ce qui donne une probabilité de 1/6.
Lancer deux dés équitables fait plus que doubler la difficulté de calculer les probabilités. En effet, lancer un dé est indépendant du deuxième. Un jet n'a aucun effet sur l'autre. Pour les événements indépendants, nous utilisons la règle de multiplication. L'utilisation d'un diagramme en arbre montre qu'il y a 6 x 6 = 36 résultats possibles en lançant deux dés.
Supposons que le premier dé que nous lançons soit un 1. L'autre jet de dé pourrait être un 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Supposons maintenant que le premier dé soit un 2. L'autre jet de dé pourrait être a 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Nous avons déjà trouvé 12 résultats potentiels et n'avons pas encore épuisé toutes les possibilités du premier dé.
Tableau de probabilité de lancer deux dés
Les résultats possibles du lancement de deux dés sont représentés dans le tableau ci-dessous. Notez que le nombre total de résultats possibles est égal à l'espace d'échantillonnage du premier dé (6) multiplié par l'espace d'échantillonnage du deuxième dé (6), qui est de 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Trois dés ou plus
Le même principe s'applique si nous travaillons sur des problèmes impliquant trois dés. Nous multiplions et voyons qu'il y a 6 x 6 x 6 = 216 résultats possibles. Comme il devient difficile d'écrire la multiplication répétée, nous pouvons utiliser des exposants pour simplifier le travail. Pour deux dés, il y a 6 ^ 2 résultats possibles. Pour trois dés, il y a 6 ^ 3 résultats possibles. En général, si on roule n dés, alors il y a un total de 6 ^n résultats possibles.
Exemples de problèmes
Avec cette connaissance, nous pouvons résoudre toutes sortes de problèmes de probabilité:
1. Deux dés à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit sept?
Le moyen le plus simple de résoudre ce problème est de consulter le tableau ci-dessus. Vous remarquerez que dans chaque rangée, il y a un lancer de dés où la somme des deux dés est égale à sept. Puisqu'il y a six rangées, il y a six résultats possibles où la somme des deux dés est égale à sept. Le nombre total de résultats possibles reste 36. Encore une fois, nous trouvons la probabilité en divisant la fréquence des événements (6) par la taille de l'espace d'échantillonnage (36), ce qui donne une probabilité de 1/6.
2. Deux dés à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit de trois?
Dans le problème précédent, vous avez peut-être remarqué que les cellules où la somme des deux dés est égale à sept forment une diagonale. La même chose est vraie ici, sauf que dans ce cas, il n'y a que deux cellules où la somme des dés est de trois. En effet, il n'y a que deux façons d'obtenir ce résultat. Vous devez obtenir un 1 et un 2 ou vous devez obtenir un 2 et un 1. Les combinaisons pour obtenir une somme de sept sont beaucoup plus grandes (1 et 6, 2 et 5, 3 et 4, etc.). Pour trouver la probabilité que la somme des deux dés soit de trois, nous pouvons diviser la fréquence des événements (2) par la taille de l'espace d'échantillonnage (36), ce qui donne une probabilité de 1/18.
3. Deux dés à six faces sont lancés. Quelle est la probabilité que les nombres sur les dés soient différents?
Encore une fois, nous pouvons facilement résoudre ce problème en consultant le tableau ci-dessus. Vous remarquerez que les cellules où les nombres sur les dés sont les mêmes forment une diagonale. Il n'y en a que six, et une fois que nous les avons barrés, nous avons les cellules restantes dans lesquelles les nombres sur les dés sont différents. Nous pouvons prendre le nombre de combinaisons (30) et le diviser par la taille de l'espace d'échantillonnage (36), ce qui donne une probabilité de 5/6.
