Probabilités dans le jeu Monopoly

Le monopole est un jeu de société dans lequel les joueurs mettent le capitalisme en action. Les joueurs achètent et vendent des propriétés et se facturent mutuellement un loyer. Bien qu'il existe des parties sociales et stratégiques du jeu, les joueurs déplacent leurs pièces sur le plateau en lançant deux dés à six faces standard. Puisque cela contrôle la façon dont les joueurs se déplacent, il y a aussi un aspect de probabilité dans le jeu. En ne connaissant que quelques faits, nous pouvons calculer la probabilité d'atterrir sur certains espaces au cours des deux premiers tours en début de partie..

Les dés

À chaque tour, un joueur lance deux dés et déplace ensuite sa pièce sur autant de cases du plateau. Il est donc utile de revoir les probabilités de lancer deux dés. En résumé, les sommes suivantes sont possibles:

Une somme de deux a une probabilité 1/36.
Une somme de trois a une probabilité 2/36.
Une somme de quatre a une probabilité 3/36.
Une somme de cinq a une probabilité 4/36.
Une somme de six a une probabilité 5/36.
Une somme de sept a une probabilité 6/36.
Une somme de huit a une probabilité 5/36.
Une somme de neuf a une probabilité 4/36.
Une somme de dix a une probabilité 3/36.
Une somme de onze a une probabilité 2/36.
Une somme de douze a une probabilité 1/36.

Ces probabilités seront très importantes à mesure que nous continuerons.

Le plateau de jeu Monopoly

Nous devons également prendre note du plateau de jeu Monopoly. Il y a un total de 40 espaces autour du plateau de jeu, avec 28 de ces propriétés, chemins de fer ou services publics qui peuvent être achetés. Six espaces impliquent de piocher une carte dans les piles Chance ou Community Chest. Trois espaces sont des espaces libres dans lesquels rien ne se passe. Deux espaces payants: impôt sur le revenu ou impôt de luxe. Un espace envoie le joueur en prison.

Nous ne considérerons que les deux premiers tours d'un jeu de Monopoly. Au cours de ces tours, le plus loin possible autour de la planche est de rouler douze fois et de déplacer un total de 24 cases. Nous n'examinerons donc que les 24 premières cases du tableau. Dans l'ordre, ces espaces sont:

Avenue méditerranéenne
Coffre communautaire
Avenue Baltique
Impôt sur le revenu
Chemin de fer de lecture
Avenue orientale
Chance
Vermont Avenue
Taxe du Connecticut
Je viens de visiter la prison
Place St. James
Compagnie d'électricité
Avenue des États
Virginia Avenue
Pennsylvania Railroad
Place St. James
Coffre communautaire
Avenue du Tennessee
New York Avenue
Parking gratuit
Kentucky Avenue
Chance
Indiana Avenue
Illinois Avenue

Premier tour

Le premier virage est relativement simple. Puisque nous avons des probabilités de lancer deux dés, nous les associons simplement aux carrés appropriés. Par exemple, le deuxième espace est un carré de coffre communautaire et il y a une probabilité de 1/36 de lancer une somme de deux. Il y a donc 1/36 de probabilité d'atterrir sur le coffre communautaire au premier tour.

Voici les probabilités d'atterrir sur les espaces suivants au premier tour:

Coffre communautaire - 1/36
Avenue Baltique - 2/36
Impôt sur le revenu - 3/36
Chemin de fer de lecture - 4/36
Avenue Orientale - 5/36
Chance - 6/36
Avenue du Vermont - 5/36
Taxe du Connecticut - 4/36
Juste visiter la prison - 3/36
Place Saint-James - 2/36
Compagnie électrique - 1/36

Deuxième tour

Le calcul des probabilités pour le deuxième tour est un peu plus difficile. Nous pouvons lancer un total de deux sur les deux tours et parcourir un minimum de quatre cases, ou un total de 12 sur les deux tours et parcourir un maximum de 24 cases. Tous les espaces entre quatre et 24 peuvent également être atteints. Mais cela peut se faire de différentes manières. Par exemple, nous pourrions déplacer un total de sept espaces en déplaçant l'une des combinaisons suivantes:

Deux espaces au premier tour et cinq espaces au deuxième tour
Trois espaces au premier tour et quatre espaces au deuxième tour
Quatre espaces au premier tour et trois espaces au deuxième tour
Cinq espaces au premier tour et deux espaces au deuxième tour

Nous devons considérer toutes ces possibilités lors du calcul des probabilités. Les lancers de chaque tour sont indépendants du lancer du tour suivant. Nous n'avons donc pas à nous soucier de la probabilité conditionnelle, mais juste à multiplier chacune des probabilités:

La probabilité de rouler un deux puis un cinq est (1/36) x (4/36) = 4/1296.
La probabilité de rouler un trois puis un quatre est (2/36) x (3/36) = 6/1296.
La probabilité de rouler un quatre puis un trois est (3/36) x (2/36) = 6/1296.
La probabilité de rouler un cinq puis un deux est (4/36) x (1/36) = 4/1296.

Règle d'addition mutuellement exclusive

Les autres probabilités pour deux tours sont calculées de la même manière. Pour chaque cas, nous avons juste besoin de trouver toutes les façons possibles d'obtenir une somme totale correspondant à cette case du plateau de jeu. Voici les probabilités (arrondies au centième de pour cent le plus proche) d'atterrir sur les espaces suivants au premier tour:

Impôt sur le revenu - 0,08%
Chemin de fer de lecture - 0,31%
Avenue Orientale - 0,77%
Chance - 1,54%
Avenue du Vermont - 2,70%
Taxe du Connecticut - 4,32%
Je viens de visiter la prison - 6,17%
Place Saint-James - 8,02%
Compagnie électrique - 9,65%
Avenue des États - 10,80%
Avenue Virginia - 11,27%
Pennsylvania Railroad - 10,80%
Place Saint-James - 9,65%
Coffre communautaire - 8,02%
Avenue du Tennessee 6,17%
Avenue de New York 4,32%
Parking gratuit - 2,70%
Avenue Kentucky - 1,54%
Chance - 0,77%
Avenue Indiana - 0,31%
Avenue Illinois - 0,08%

Plus de trois tours

Pour plusieurs virages, la situation devient encore plus difficile. L'une des raisons est que dans les règles du jeu, si nous roulons en double trois fois de suite, nous allons en prison. Cette règle affectera nos probabilités d'une manière que nous n'avions pas à considérer auparavant. En plus de cette règle, nous ne prenons pas en compte les effets des cartes de chance et de coffre communautaire. Certaines de ces cartes demandent aux joueurs de sauter des espaces et d'aller directement dans des espaces particuliers.

En raison de la complexité de calcul accrue, il devient plus facile de calculer les probabilités pour plus que quelques tours en utilisant les méthodes de Monte Carlo. Les ordinateurs peuvent simuler des centaines de milliers sinon des millions de jeux de Monopoly, et les probabilités d'atterrir sur chaque espace peuvent être calculées empiriquement à partir de ces jeux.

Science