Probabilité de l'union de 3 ensembles ou plus

Lorsque deux événements s'excluent mutuellement, la probabilité de leur union peut être calculée avec la règle d'addition. Nous savons que pour lancer un dé, lancer un nombre supérieur à quatre ou un nombre inférieur à trois sont des événements mutuellement exclusifs, qui n'ont rien de commun. Donc, pour trouver la probabilité de cet événement, nous ajoutons simplement la probabilité de rouler un nombre supérieur à quatre à la probabilité de rouler un nombre inférieur à trois. En symboles, nous avons ce qui suit, où le capital P désigne la «probabilité de»:

P(supérieur à quatre ou inférieur à trois) = P(supérieur à quatre) + P(moins de trois) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Si les événements sont ne pas mutuellement exclusifs, alors nous ne faisons pas simplement l'addition des probabilités des événements, mais nous devons soustraire la probabilité de l'intersection des événements. Compte tenu des événements UNE et B:

P(UNE U B) = P(UNE) + P(B) - P(UNE ∩ B).

Ici, nous tenons compte de la possibilité de compter deux fois les éléments qui sont à la fois UNE et B, et c'est pourquoi nous soustrayons la probabilité de l'intersection.

La question qui en découle est: «Pourquoi s'arrêter avec deux séries? Quelle est la probabilité de l'union de plus de deux ensembles? »

Formule pour l'union de 3 ensembles

Nous étendrons les idées ci-dessus à la situation où nous avons trois ensembles, que nous désignerons UNE, B, et C. Nous n'assumerons rien de plus que cela, il y a donc la possibilité que les ensembles aient une intersection non vide. L'objectif sera de calculer la probabilité de l'union de ces trois ensembles, ou P (UNE U B U C).

La discussion ci-dessus pour deux séries tient toujours. Nous pouvons additionner les probabilités des ensembles individuels UNE, B, et C, mais ce faisant, nous avons compté deux éléments.

Les éléments à l'intersection de UNE et B ont été comptés deux fois comme auparavant, mais il existe maintenant d'autres éléments qui ont potentiellement été comptés deux fois. Les éléments à l'intersection de UNE et C et à l'intersection de B et C sont désormais également comptés deux fois. Donc, les probabilités de ces intersections doivent également être soustraites.

Mais avons-nous trop soustrait? Il y a quelque chose de nouveau à considérer que nous n'avons pas eu à nous soucier quand il n'y avait que deux ensembles. Tout comme deux ensembles peuvent avoir une intersection, les trois ensembles peuvent également avoir une intersection. En essayant de nous assurer que nous n'avons rien compté deux fois, nous n'avons pas compté tous les éléments qui apparaissent dans les trois ensembles. Donc, la probabilité de l'intersection des trois ensembles doit être rajoutée dans.

Voici la formule dérivée de la discussion ci-dessus:

P (UNE U B U C) = P(UNE) + P(B) + P(C) - P(UNE ∩ B) - P(UNE ∩ C) - P(B ∩ C) + P(UNE ∩ B ∩ C)

Exemple impliquant 2 dés

Pour voir la formule de la probabilité de l'union de trois ensembles, supposons que nous jouons à un jeu de société qui implique de lancer deux dés. En raison des règles du jeu, nous devons obtenir au moins l'un des dés pour être deux, trois ou quatre pour gagner. Quelle est la probabilité de cela? Nous notons que nous essayons de calculer la probabilité de l'union de trois événements: rouler au moins un deux, rouler au moins un trois, rouler au moins un quatre. Nous pouvons donc utiliser la formule ci-dessus avec les probabilités suivantes:

• La probabilité de rouler à deux est de 11/36. Le numérateur ici vient du fait qu'il y a six résultats dans lesquels le premier dé est un deux, six dans lesquels le deuxième dé est un deux et un résultat dans lequel les deux dés sont deux. Cela nous donne 6 + 6 - 1 = 11.
• La probabilité de rouler à trois est de 11/36, pour la même raison que ci-dessus.
• La probabilité de lancer un quatre est de 11/36, pour la même raison que ci-dessus.
• La probabilité de rouler un deux et un trois est de 2/36. Ici, nous pouvons simplement énumérer les possibilités, les deux pourraient venir en premier ou en deuxième.
• La probabilité de rouler un deux et un quatre est 2/36, pour la même raison que la probabilité d'un deux et un trois est 2/36.
• La probabilité de lancer deux, trois et quatre est de 0, car nous ne lançons que deux dés et il n'y a aucun moyen d'obtenir trois nombres avec deux dés..

Nous utilisons maintenant la formule et voyons que la probabilité d'obtenir au moins un deux, un trois ou un quatre est

11/36 + 11/36 + 11/36 - 2/36 - 2/36 - 2/36 + 0 = 27/36.

Formule de probabilité d'union de 4 ensembles

La raison pour laquelle la formule pour la probabilité de l'union de quatre ensembles a sa forme est similaire au raisonnement pour la formule pour trois ensembles. À mesure que le nombre d'ensembles augmente, le nombre de paires, de triplets, etc. augmente également. Avec quatre ensembles, il y a six intersections par paires qui doivent être soustraites, quatre intersections triples à ajouter, et maintenant une intersection quadruple qui doit être soustraite. Étant donné quatre ensembles UNE, B, C et ré, la formule pour l'union de ces ensembles est la suivante:

P (UNE U B U C U ré) = P(UNE) + P(B) + P(C) +P(ré) - P(UNE ∩ B) - P(UNE ∩ C) - P(UNE ∩ ré)- P(B ∩ C) - P(B ∩ ré) - P(C ∩ ré) + P(UNE ∩ B ∩ C) + P(UNE ∩ B ∩ ré) + P(UNE ∩ C ∩ ré) + P(B ∩ C ∩ ré) - P(UNE ∩ B ∩ C ∩ ré).

Schéma global

Nous pourrions écrire des formules (qui sembleraient encore plus effrayantes que celle ci-dessus) pour la probabilité de l'union de plus de quatre ensembles, mais en étudiant les formules ci-dessus, nous devrions remarquer quelques modèles. Ces modèles valent pour calculer des unions de plus de quatre ensembles. La probabilité de l'union d'un nombre quelconque d'ensembles peut être trouvée comme suit:

1. Ajouter les probabilités des événements individuels.
2. Soustrayez les probabilités des intersections de chaque paire d'événements.
3. Ajoutez les probabilités de l'intersection de chaque ensemble de trois événements.
4. Soustrayez les probabilités de l'intersection de chaque ensemble de quatre événements.
5. Continuez ce processus jusqu'à ce que la dernière probabilité soit la probabilité de l'intersection du nombre total d'ensembles avec lequel nous avons commencé.