La règle du complément

En statistique, la règle du complément est un théorème qui fournit un lien entre la probabilité d'un événement et la probabilité du complément de l'événement de telle sorte que si nous connaissons l'une de ces probabilités, alors nous connaissons automatiquement l'autre.

La règle du complément est utile lorsque nous calculons certaines probabilités. Plusieurs fois, la probabilité d'un événement est désordonnée ou compliquée à calculer, tandis que la probabilité de son complément est beaucoup plus simple.

Avant de voir comment la règle du complément est utilisée, nous définirons précisément ce qu'est cette règle. Nous commençons par un peu de notation. Le complément de l'événement UNE, composé de tous les éléments de l'espace échantillon S qui ne sont pas des éléments de l'ensemble UNE, est désigné par UNEC.

Énoncé de la règle du complément

La règle du complément est définie comme «la somme de la probabilité d'un événement et la probabilité de son complément est égale à 1», comme exprimé par l'équation suivante:

P (UNE^C) = 1 - P (UNE)

L'exemple suivant montre comment utiliser la règle du complément. Il deviendra évident que ce théorème accélérera et simplifiera les calculs de probabilité.

Probabilité sans la règle du complément

Supposons que nous lançons huit pièces justes - quelle est la probabilité que nous ayons au moins une tête montrant? Une façon de comprendre cela est de calculer les probabilités suivantes. Le dénominateur de chacun s'explique par le fait qu'il y a 2⁸ = 256 résultats, chacun d'eux étant également probable. Tous les éléments suivants nous une formule pour les combinaisons:

• La probabilité de retourner exactement une tête est C (8,1) / 256 = 8/256.
• La probabilité de retourner exactement deux têtes est C (8,2) / 256 = 28/256.
• La probabilité de retourner exactement trois têtes est C (8,3) / 256 = 56/256.
• La probabilité de retourner exactement quatre têtes est C (8,4) / 256 = 70/256.
• La probabilité de retourner exactement cinq têtes est C (8,5) / 256 = 56/256.
• La probabilité de retourner exactement six têtes est C (8,6) / 256 = 28/256.
• La probabilité de retourner exactement sept têtes est C (8,7) / 256 = 8/256.
• La probabilité de retourner exactement huit têtes est C (8,8) / 256 = 1/256.

Ce sont des événements qui s'excluent mutuellement, nous additionnons donc les probabilités en utilisant l'une des règles d'addition appropriées. Cela signifie que la probabilité d'avoir au moins une tête est de 255 sur 256.

Utilisation de la règle de complément pour simplifier les problèmes de probabilité

Nous calculons maintenant la même probabilité en utilisant la règle du complément. Le complément de l'événement «Nous renversons au moins une tête» est l'événement «Il n'y a pas de tête». Il existe un moyen pour que cela se produise, ce qui nous donne la probabilité de 1/256. Nous utilisons la règle du complément et constatons que notre probabilité souhaitée est de un moins un sur 256, ce qui est égal à 255 sur 256.

Cet exemple démontre non seulement l'utilité mais aussi la puissance de la règle du complément. Bien qu'il n'y ait rien de mal avec notre calcul d'origine, il était assez complexe et nécessitait plusieurs étapes. En revanche, lorsque nous avons utilisé la règle du complément pour ce problème, il n'y avait pas autant d'étapes où les calculs pouvaient mal tourner.