La probabilité de remporter une quinte flush royale au poker

Si vous regardez un film sur le poker, il semble que ce ne soit qu'une question de temps avant qu'une quinte flush n'apparaisse. C'est une main de poker qui a une composition très spécifique: le dix, le valet, la reine, le roi et l'as, tous de la même couleur. Généralement, le héros du film est traité de cette main et il est révélé de manière dramatique. Un flush royal est la main la mieux classée dans le jeu de cartes de poker. En raison des spécifications de cette main, il est très difficile de recevoir une quinte flush royale. 

Hypothèses de base et probabilité

Il existe une multitude de façons différentes de jouer au poker. Pour nos besoins, nous supposerons qu'un joueur reçoit cinq cartes d'un jeu de 52 cartes standard. Aucune carte n'est sauvage, et le joueur garde toutes les cartes qui lui sont distribuées.

Pour calculer la probabilité de recevoir une quinte flush royale, nous devons connaître deux nombres:

• Le nombre total de mains de poker possibles
• Le nombre total de façons dont un flush royal peut être traité.

Une fois que nous connaissons ces deux nombres, la probabilité de recevoir une quinte royale est un simple calcul. Tout ce que nous avons à faire est de diviser le deuxième nombre par le premier nombre.

Nombre de mains de poker

Certaines des techniques de la combinatoire, ou l'étude du comptage, peuvent être appliquées pour calculer le nombre total de mains de poker. Il est important de noter que l'ordre dans lequel les cartes nous sont distribuées n'a pas d'importance. Comme l'ordre n'a pas d'importance, cela signifie que chaque main est une combinaison de cinq cartes sur un total de 52. Nous utilisons la formule pour les combinaisons et voyons qu'il y a un nombre total de C(52, 5) = 2 598 960 mains distinctes possibles.

Quinte royale

Un flush royal est un flush. Cela signifie que toutes les cartes doivent être de la même couleur. Il existe plusieurs types de rinçages. Contrairement à la plupart des couleurs, dans une couleur royale, la valeur des cinq cartes est complètement spécifiée. Les cartes en main doivent être un dix, un valet, une reine, un roi et un as de la même couleur.

Pour une couleur donnée, il n'y a qu'une seule combinaison de cartes avec ces cartes. Puisqu'il y a quatre combinaisons de coeurs, de diamants, de massues et de piques, il n'y a que quatre bouffées royales possibles qui peuvent être traitées.

La probabilité d'une quinte royale

Nous pouvons déjà dire à partir des chiffres ci-dessus qu'il est peu probable qu'une quinte flush royale soit traitée. Sur près de 2,6 millions de mains de poker, seulement quatre d'entre elles sont des quintes royales. Ces près de 2,6 mains sont uniformément réparties. En raison du brassage des cartes, chacune de ces mains est également susceptible d'être distribuée à un joueur.

La probabilité de recevoir une quinte flush royale est le nombre de quintes flush royales divisé par le nombre total de mains de poker. Nous procédons maintenant à la division et constatons qu'une quinte flush royale est en effet rare. Il y a seulement une probabilité de 4/2 598 960 = 1/649 740 = 0,00015% d'être traité cette main.

Tout comme les très grands nombres, une probabilité aussi petite est difficile à comprendre. Une façon de mettre ce chiffre en perspective est de demander combien de temps il faudrait pour passer par 649 740 mains de poker. Si vous aviez 20 mains de poker chaque soir de l'année, cela ne représenterait que 7300 mains par an. dans 89 ans, vous ne devriez vous attendre à voir qu'une quinte flush royale. Donc, cette main n'est pas aussi courante que ce que les films pourraient nous faire croire.