La probabilité d'une grande ligne droite à Yahtzee en un seul rouleau

Yahtzee est un jeu de dés qui utilise cinq dés à six faces standard. À chaque tour, les joueurs reçoivent trois jets pour obtenir plusieurs objectifs différents. Après chaque lancer, un joueur peut décider lesquels des dés (le cas échéant) doivent être conservés et lesquels doivent être relancés. Les objectifs incluent une variété de différents types de combinaisons, dont beaucoup sont tirées du poker. Chaque type de combinaison vaut un nombre de points différent.

Deux des types de combinaisons que les joueurs doivent lancer sont appelés lignes droites: une petite ligne droite et une grande ligne droite. Comme le poker droit, ces combinaisons consistent en des dés séquentiels. Les petites lignes droites utilisent quatre des cinq dés et les grandes lignes droites utilisent les cinq dés. En raison du caractère aléatoire du lancement des dés, la probabilité peut être utilisée pour analyser la probabilité de lancer une grande ligne droite en un seul lancer..

Hypothèses

Nous supposons que les dés utilisés sont équitables et indépendants les uns des autres. Ainsi, il y a un espace d'échantillonnage uniforme composé de tous les lancers possibles des cinq dés. Bien que Yahtzee autorise trois rouleaux, pour plus de simplicité, nous ne considérerons que le cas où nous obtenons une grande ligne droite en un seul rouleau.

Espace d'échantillon

Puisque nous travaillons avec un espace d'échantillonnage uniforme, le calcul de notre probabilité devient un calcul de quelques problèmes de comptage. La probabilité d'une ligne droite est le nombre de façons de rouler une ligne droite, divisé par le nombre de résultats dans l'espace échantillon.

Il est très facile de compter le nombre de résultats dans l'espace échantillon. Nous lançons cinq dés et chacun de ces dés peut avoir l'un des six résultats différents. Une application de base du principe de multiplication nous indique que l'espace d'échantillonnage a 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 résultats. Ce nombre sera le dénominateur de toutes les fractions que nous utilisons pour nos probabilités.

Nombre de lignes droites

Ensuite, nous devons savoir combien de façons il y a de rouler une grande ligne droite. C'est plus difficile que de calculer la taille de l'espace échantillon. La raison pour laquelle cela est plus difficile est qu'il y a plus de subtilité dans la façon dont nous comptons.

Une grande droite est plus difficile à rouler qu'une petite droite, mais il est plus facile de compter le nombre de façons de rouler une grande droite que le nombre de façons de rouler une petite droite. Ce type de ligne droite se compose de cinq nombres séquentiels. Puisqu'il n'y a que six nombres différents sur les dés, il n'y a que deux grandes lignes droites possibles: 1, 2, 3, 4, 5 et 2, 3, 4, 5, 6.

Maintenant, nous déterminons le nombre différent de façons de lancer un ensemble particulier de dés qui nous donnent une quinte. Pour une grande suite avec les dés 1, 2, 3, 4, 5, nous pouvons avoir les dés dans n'importe quel ordre. Voici donc différentes façons de rouler la même ligne droite:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Il serait fastidieux d'énumérer toutes les façons possibles d'obtenir un 1, 2, 3, 4 et 5. Étant donné que nous avons seulement besoin de savoir combien de façons il y a de le faire, nous pouvons utiliser certaines techniques de comptage de base. Nous notons que tout ce que nous faisons est de permuter les cinq dés. Il y en a 5! = 120 façons de le faire. Puisqu'il y a deux combinaisons de dés pour faire une grande ligne droite et 120 façons de lancer chacune d'elles, il y a 2 x 120 = 240 façons de lancer une grande ligne droite.

Probabilité

Maintenant, la probabilité de rouler une grande droite est un simple calcul de division. Puisqu'il y a 240 façons de lancer une grande ligne droite en un seul jet et qu'il y a 7776 rouleaux de cinq dés possibles, la probabilité de lancer une grande ligne droite est 240/7776, ce qui est proche de 1/32 et 3,1%.

Bien sûr, il est plus probable qu'improbable que le premier lancer n'est pas une ligne droite. Si tel est le cas, nous avons alors droit à deux lancers supplémentaires, ce qui rend la suite beaucoup plus probable. La probabilité de cela est beaucoup plus compliquée à déterminer en raison de toutes les situations possibles qui devraient être prises en compte.