Comprendre les équations équivalentes en algèbre

Les équations équivalentes sont des systèmes d'équations qui ont les mêmes solutions. Identifier et résoudre des équations équivalentes est une compétence précieuse, non seulement en classe d'algèbre, mais aussi dans la vie quotidienne. Jetez un œil à des exemples d'équations équivalentes, comment les résoudre pour une ou plusieurs variables et comment vous pourriez utiliser cette compétence en dehors d'une classe.

Points clés à retenir

• Les équations équivalentes sont des équations algébriques qui ont des solutions ou des racines identiques.
• L'ajout ou la soustraction du même nombre ou de la même expression aux deux côtés d'une équation produit une équation équivalente.
• La multiplication ou la division des deux côtés d'une équation par le même nombre non nul produit une équation équivalente.

Équations linéaires avec une variable

Les exemples les plus simples d'équations équivalentes n'ont pas de variables. Par exemple, ces trois équations sont équivalentes:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Reconnaître que ces équations sont équivalentes est excellent, mais pas particulièrement utile. Habituellement, un problème d'équation équivalent vous demande de résoudre une variable pour voir si elle est la même (la même racine) comme celui d'une autre équation.

Par exemple, les équations suivantes sont équivalentes:

• x = 5
• -2x = -10

Dans les deux cas, x = 5. Comment savons-nous cela? Comment résolvez-vous cela pour l'équation "-2x = -10"? La première étape consiste à connaître les règles d'équations équivalentes:

• L'ajout ou la soustraction du même nombre ou de la même expression aux deux côtés d'une équation produit une équation équivalente.
• La multiplication ou la division des deux côtés d'une équation par le même nombre non nul produit une équation équivalente.
• Élever les deux côtés de l'équation à la même puissance impaire ou prendre la même racine impaire produira une équation équivalente.
• Si les deux côtés d'une équation ne sont pas négatifs, élever les deux côtés d'une équation à la même puissance paire ou prendre la même racine paire donnera une équation équivalente.

Exemple

En mettant ces règles en pratique, déterminez si ces deux équations sont équivalentes:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Pour résoudre ce problème, vous devez trouver "x" pour chaque équation. Si "x" est le même pour les deux équations, alors elles sont équivalentes. Si "x" est différent (c'est-à-dire que les équations ont des racines différentes), alors les équations ne sont pas équivalentes. Pour la première équation:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (en soustrayant les deux côtés par le même nombre)
• x = 5

Pour la deuxième équation:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (en soustrayant les deux côtés par le même nombre)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (en divisant les deux côtés de l'équation par le même nombre)
• x = 5

Donc, oui, les deux équations sont équivalentes car x = 5 dans chaque cas.