Utilisation de la fonction de génération de moment pour la distribution binomiale

La moyenne et la variance d'une variable aléatoire X avec une distribution de probabilité binomiale peut être difficile à calculer directement. Bien qu'il soit clair ce qui doit être fait pour utiliser la définition de la valeur attendue de X et X², l'exécution réelle de ces étapes est un jonglage délicat d'algèbre et de sommations. Une autre façon de déterminer la moyenne et la variance d'une distribution binomiale consiste à utiliser la fonction de génération de moment pour X.

Variable aléatoire binomiale

Commencez avec la variable aléatoire X et décrire plus précisément la distribution de probabilité. Effectuer n essais Bernoulli indépendants, dont chacun a des chances de succès p et probabilité d'échec 1 - p. Ainsi, la fonction de masse de probabilité est

F (X) = C(n , X)p^X(1 - p)^{n - X}

Ici le terme C(n , X) indique le nombre de combinaisons de n éléments pris X à la fois, et X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3,… , n.

Fonction de génération de moment

Utilisez cette fonction de masse de probabilité pour obtenir la fonction de génération de moment de X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿ e^txC(n,X)>)p^X(1 - p)^{n - X}.

Il devient clair que vous pouvez combiner les termes avec un exposant de X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿ (pe^t)^XC(n,X)>) (1 - p)^{n - X}.

De plus, en utilisant la formule binomiale, l'expression ci-dessus est simplement:

M(t) = [(1 - p) + pe^t]ⁿ.

Calcul de la moyenne

Pour trouver la moyenne et la variance, vous devez connaître les deux M«(0) et M"(0). Commencez par calculer vos dérivés, puis évaluez chacun d'eux à t = 0.

Vous verrez que la première dérivée de la fonction de génération de moment est:

M«(t) = n(pe^t)[(1 - p) + pe^t]^{n - 1}.

À partir de cela, vous pouvez calculer la moyenne de la distribution de probabilité. M(0) = n(pe⁰)[(1 - p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Cela correspond à l'expression que nous avons obtenue directement de la définition de la moyenne.

Calcul de la variance

Le calcul de la variance est effectué de manière similaire. Tout d'abord, différenciez à nouveau la fonction de génération de moment, puis nous évaluons cette dérivée à t = 0. Ici, vous verrez que

M"(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 - p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 - p) + pe^t]^{n - 1}.

Pour calculer la variance de cette variable aléatoire, vous devez trouver M"(t). Vous avez ici M"(0) = n(n - 1)p² +np. La variance σ² de votre distribution est

σ² = M"(0) - [M«(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Bien que cette méthode soit quelque peu impliquée, elle n'est pas aussi compliquée que le calcul de la moyenne et de la variance directement à partir de la fonction de masse de probabilité.