Qu'est-ce qu'un champ Sigma?

Il existe de nombreuses idées de la théorie des ensembles qui sous-tendent la probabilité. Une telle idée est celle d'un champ sigma. Un champ sigma se réfère à la collection de sous-ensembles d'un espace échantillon que nous devrions utiliser afin d'établir une définition mathématiquement formelle de la probabilité. Les ensembles dans le champ sigma constituent les événements de notre espace d'échantillonnage.

Définition

La définition d'un champ sigma nécessite d'avoir un espace échantillon S ainsi qu'une collection de sous-ensembles de S. Cette collection de sous-ensembles est un champ sigma si les conditions suivantes sont remplies:

• Si le sous-ensemble UNE est dans le champ sigma, alors est donc son complément UNE^C.
• Si UNE_n  sont infiniment nombreux sous-ensembles du champ sigma, alors l'intersection et l'union de tous ces ensembles se trouvent également dans le champ sigma.

Implications

La définition implique que deux ensembles particuliers font partie de chaque champ sigma. Depuis les deux UNE et UNE^C sont dans le champ sigma, tout comme l'intersection. Cette intersection est l'ensemble vide. Par conséquent, l'ensemble vide fait partie de chaque champ sigma.

L'espace échantillon S doit également faire partie du champ sigma. La raison en est que l'union des UNE et UNE^C doit être dans le champ sigma. Cette union est l'espace d'échantillonS.

Raisonnement

Il y a plusieurs raisons pour lesquelles cette collection particulière d'ensembles est utile. Tout d'abord, nous examinerons pourquoi l'ensemble et son complément devraient être des éléments de l'algèbre sigma. Le complément dans la théorie des ensembles équivaut à la négation. Les éléments en complément de UNE sont les éléments de l'ensemble universel qui ne sont pas des éléments de UNE. De cette façon, nous nous assurons que si un événement fait partie de l'espace échantillon, cet événement ne se produisant pas est également considéré comme un événement dans l'espace échantillon.

Nous voulons également que l'union et l'intersection d'une collection d'ensembles soient dans l'algèbre sigma parce que les unions sont utiles pour modéliser le mot «ou». L'événement qui UNE ou B se produit est représenté par l'union de UNE et B. De même, nous utilisons l'intersection pour représenter le mot «et». L'événement qui UNE et B se produit est représenté par l'intersection des ensembles UNE et B.

Il est impossible de croiser physiquement un nombre infini d'ensembles. Cependant, nous pouvons penser à faire cela comme une limite de processus finis. C'est pourquoi nous incluons également l'intersection et l'union de nombreux sous-ensembles. Pour de nombreux espaces d'échantillonnage infinis, nous aurions besoin de former des unions et des intersections infinies.

Idées associées

Un concept lié à un champ sigma est appelé un champ de sous-ensembles. Un champ de sous-ensembles ne nécessite pas que les unions et intersections infiniment comptables en fassent partie. Au lieu de cela, nous avons seulement besoin de contenir des unions et des intersections finies dans un champ de sous-ensembles.