Qu'est-ce que la distribution binomiale négative?

La distribution binomiale négative est une distribution de probabilité utilisée avec des variables aléatoires discrètes. Ce type de distribution concerne le nombre d'essais qui doivent avoir lieu pour avoir un nombre prédéterminé de succès. Comme nous le verrons, la distribution binomiale négative est liée à la distribution binomiale. De plus, cette distribution généralise la distribution géométrique.

Le réglage

Nous commencerons par examiner à la fois le cadre et les conditions qui donnent lieu à une distribution binomiale négative. Beaucoup de ces conditions sont très similaires à un paramètre binomial.

1. Nous avons une expérience de Bernoulli. Cela signifie que chaque essai que nous effectuons a un succès et un échec bien définis et que ce sont les seuls résultats.
2. La probabilité de réussite est constante quel que soit le nombre de fois où nous effectuons l'expérience. On note cette probabilité constante avec un p.
3. L'expérience est répétée pendant X essais indépendants, ce qui signifie que l'issue d'un essai n'a aucun effet sur l'issue d'un essai ultérieur. 

Ces trois conditions sont identiques à celles d'une distribution binomiale. La différence est qu'une variable aléatoire binomiale a un nombre fixe d'essais n.  Les seules valeurs de X sont 0, 1, 2,… , n, c'est donc une distribution finie.

Une distribution binomiale négative concerne le nombre d'essais X cela doit se produire jusqu'à ce que nous ayons r succès. Le nombre r est un nombre entier que nous choisissons avant de commencer nos essais. La variable aléatoire X est toujours discret. Cependant, maintenant la variable aléatoire peut prendre des valeurs de X = r, r + 1, r + 2,… Cette variable aléatoire est infiniment comptable, car cela pourrait prendre un temps arbitrairement long avant d'obtenir r succès.

Exemple

Pour aider à donner un sens à une distribution binomiale négative, il vaut la peine de considérer un exemple. Supposons que nous lançons une pièce équitable et que nous posions la question: "Quelle est la probabilité que nous obtenions trois têtes dans la première X coin flips? "C'est une situation qui appelle une distribution binomiale négative. 

Les lancers de pièces de monnaie ont deux résultats possibles, la probabilité de succès est une constante 1/2, et les essais sont indépendants les uns des autres. Nous demandons la probabilité d'obtenir les trois premières têtes après X pièces de monnaie. Nous devons donc lancer la pièce au moins trois fois. Nous continuons ensuite à retourner jusqu'à ce que la troisième tête apparaisse.

Afin de calculer les probabilités liées à une distribution binomiale négative, nous avons besoin de plus d'informations. Nous devons connaître la fonction de masse de probabilité.

Fonction de masse

La fonction de masse de probabilité pour une distribution binomiale négative peut être développée avec un peu de réflexion. Chaque essai a une probabilité de succès donnée par p.  Puisqu'il n'y a que deux résultats possibles, cela signifie que la probabilité de défaillance est constante (1 - p ).

le re succès doit se produire pour Xe et dernier procès. La précédente X - 1 essai doit contenir exactement r - 1 succès. Le nombre de façons dont cela peut se produire est donné par le nombre de combinaisons:

C (X - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!]. 

En plus de cela, nous avons des événements indépendants, et nous pouvons donc multiplier nos probabilités ensemble. En rassemblant tout cela, nous obtenons la fonction de masse de probabilité

F(X) = C (X - 1, r -1) p^r(1 - p)^{X - r}.

Le nom de la distribution

Nous sommes maintenant en mesure de comprendre pourquoi cette variable aléatoire a une distribution binomiale négative. Le nombre de combinaisons que nous avons rencontrées ci-dessus peut être écrit différemment en définissant x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)… (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1)… (-r - (k + 1) / k!.

Ici, nous voyons l'apparition d'un coefficient binomial négatif, qui est utilisé lorsque nous élevons une expression binomiale (a + b) à une puissance négative.

Signifier

La moyenne d'une distribution est importante à connaître car c'est une façon de désigner le centre de la distribution. La moyenne de ce type de variable aléatoire est donnée par sa valeur attendue et est égale à r / p.  Nous pouvons le prouver soigneusement en utilisant la fonction de génération de moment pour cette distribution.

L'intuition nous guide également vers cette expression. Supposons que nous effectuons une série d'essais n₁ jusqu'à ce que nous obtenions r succès. Et puis nous recommençons, seulement cette fois il faut n₂ essais. Nous continuons cela encore et encore, jusqu'à ce que nous ayons un grand nombre de groupes d'essais N = n₁ + n₂  +… +  n_k.

Chacun de ces k essais contient r succès, et nous avons donc un total de kr succès. Si N  est grand, alors nous nous attendons à voir Np succès. Ainsi, nous les assimilons ensemble et avons kr = Np.

Nous faisons de l'algèbre et constatons que N / k = r / p.  La fraction sur le côté gauche de cette équation est le nombre moyen d'essais requis pour chacun de nos k groupes d'essais. En d'autres termes, c'est le nombre de fois prévu pour effectuer l'expérience de sorte que nous avons un total de r succès. C'est exactement l'attente que nous souhaitons trouver. On voit que c'est égal à la formule r / p.

Variance

La variance de la distribution binomiale négative peut également être calculée en utilisant la fonction de génération de moment. Lorsque nous faisons cela, nous voyons la variance de cette distribution est donnée par la formule suivante:

r (1 - p) /p²

Fonction de génération de moment

La fonction de génération de moment pour ce type de variable aléatoire est assez compliquée. Rappelons que la fonction de génération de moment est définie comme étant la valeur attendue E [e^tX]. En utilisant cette définition avec notre fonction de masse de probabilité, nous avons:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] e^tXp^r(1 - p)^{X - r}

Après une algèbre, cela devient M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Relation avec d'autres distributions

Nous avons vu ci-dessus comment la distribution binomiale négative est similaire à bien des égards à la distribution binomiale. En plus de cette connexion, la distribution binomiale négative est une version plus générale d'une distribution géométrique.  

Une variable géométrique aléatoire X compte le nombre d'essais nécessaires avant le premier succès. Il est facile de voir que c'est exactement la distribution binomiale négative, mais avec r égal à un.

Il existe d'autres formulations de la distribution binomiale négative. Certains manuels définissent X être le nombre d'essais jusqu'à r des échecs se produisent.

Exemple de problème

Nous allons examiner un exemple de problème pour voir comment travailler avec la distribution binomiale négative. Supposons qu'un basketteur soit un tireur à lancer franc à 80%. De plus, supposez que faire un lancer franc est indépendant de faire le suivant. Quelle est la probabilité que pour ce joueur le huitième panier soit effectué au dixième lancer franc?

Nous voyons que nous avons un paramètre pour une distribution binomiale négative. La probabilité constante de succès est de 0,8, et donc la probabilité d'échec est de 0,2. Nous voulons déterminer la probabilité de X = 10 lorsque r = 8.

Nous connectons ces valeurs à notre fonction de masse de probabilité:

f (10) = C (10 -1, 8-1) (0,8)⁸(0,2)²= 36 (0,8)⁸(0,2)², ce qui représente environ 24%.

On pourrait alors se demander quel est le nombre moyen de lancers francs tirés avant que ce joueur n'en fasse huit. Puisque la valeur attendue est 8 / 0,8 = 10, c'est le nombre de prises de vue.