Qu'est-ce que le paradoxe de Saint-Pétersbourg?

Vous êtes dans les rues de Saint-Pétersbourg, en Russie, et un vieil homme propose le jeu suivant. Il lance une pièce (et empruntera l'une des vôtres si vous ne croyez pas que la sienne est juste). S'il atterrit, vous perdez et le jeu est terminé. Si la pièce tombe face à face, vous gagnez un rouble et le jeu continue. La pièce est lancée à nouveau. Si c'est pile, le jeu se termine. Si c'est face, vous gagnez deux roubles supplémentaires. Le jeu continue de cette façon. Pour chaque tête successive nous doublons nos gains du tour précédent, mais au signe de la première queue, le jeu se fait.

Combien paieriez-vous pour jouer à ce jeu? Lorsque nous considérons la valeur attendue de ce jeu, vous devriez sauter sur l'occasion, quel que soit le coût pour jouer. Cependant, d'après la description ci-dessus, vous ne seriez probablement pas prêt à payer beaucoup. Après tout, il y a une probabilité de 50% de ne rien gagner. C'est ce qu'on appelle le paradoxe de Saint-Pétersbourg, nommé en raison de la publication de 1738 de Daniel Bernoulli Commentaires de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg.

Quelques probabilités

Commençons par calculer les probabilités associées à ce jeu. La probabilité qu'une bonne pièce de monnaie tombe face à face est de 1/2. Chaque tirage au sort est un événement indépendant et nous multiplions donc les probabilités éventuellement à l'aide d'un diagramme arborescent.

• La probabilité de deux têtes d'affilée est (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• La probabilité de trois têtes d'affilée est (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Pour exprimer la probabilité de n têtes d'affilée, où n est un nombre entier positif, nous utilisons des exposants pour écrire 1/2ⁿ.

Certains paiements

Passons maintenant et voyons si nous pouvons généraliser ce que seraient les gains à chaque tour.

• Si vous avez une tête au premier tour, vous gagnez un rouble pour ce tour.
• S'il y a une tête au deuxième tour, vous gagnez deux roubles dans ce tour.
• S'il y a une tête au troisième tour, alors vous gagnez quatre roubles dans ce tour.
• Si vous avez eu la chance de vous rendre jusqu'au n^e tour, alors vous gagnerez 2^n-1 roubles dans ce tour.

Valeur attendue du jeu

La valeur attendue d'un jeu nous indique le montant moyen des gains si vous y jouez plusieurs fois. Pour calculer la valeur attendue, nous multiplions la valeur des gains de chaque manche par la probabilité d'arriver à cette manche, puis additionnons tous ces produits ensemble.

• Dès le premier tour, vous avez une probabilité 1/2 et des gains de 1 rouble: 1/2 x 1 = 1/2
• A partir du deuxième tour, vous avez une probabilité 1/4 et des gains de 2 roubles: 1/4 x 2 = 1/2
• Dès le premier tour, vous avez une probabilité 1/8 et des gains de 4 roubles: 1/8 x 4 = 1/2
• Dès le premier tour, vous avez une probabilité 1/16 et des gains de 8 roubles: 1/16 x 8 = 1/2
• Dès le premier tour, vous avez une probabilité 1/2ⁿ et gains de 2^n-1 roubles: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

La valeur de chaque tour est 1/2, et en ajoutant les résultats du premier n tours ensemble nous donne une valeur attendue de n/ 2 roubles. Puisque n peut être n'importe quel nombre entier positif, la valeur attendue est illimitée.

Le paradoxe

Alors, que devez-vous payer pour jouer? Un rouble, mille roubles ou même un milliard de roubles seraient tous, à long terme, inférieurs à la valeur attendue. Malgré le calcul ci-dessus promettant des richesses incalculables, nous serions tous encore réticents à payer très cher pour jouer.

Il existe de nombreuses façons de résoudre le paradoxe. L'un des moyens les plus simples est que personne n'offre un jeu tel que celui décrit ci-dessus. Personne n'a les ressources infinies qu'il faudrait pour payer quelqu'un qui a continué à tourner la tête.

Une autre façon de résoudre le paradoxe consiste à souligner combien il est improbable d'obtenir quelque chose comme 20 têtes d'affilée. Les chances que cela se produise sont meilleures que de gagner la plupart des loteries d'État. Les gens jouent régulièrement à de telles loteries pour cinq dollars ou moins. Donc, le prix pour jouer au jeu de Saint-Pétersbourg ne devrait probablement pas dépasser quelques dollars.

Si l'homme de Saint-Pétersbourg dit qu'il vous en coûtera plus de quelques roubles pour jouer à ce jeu, vous devez poliment refuser et vous en aller. Les roubles ne valent pas grand-chose de toute façon.