Quelle est la distribution normale standard?

Les courbes en cloche apparaissent dans les statistiques. Diverses mesures telles que les diamètres des graines, les longueurs des nageoires de poisson, les scores au SAT et le poids des feuilles individuelles d'une rame de papier forment toutes des courbes en cloche lorsqu'elles sont représentées graphiquement. La forme générale de toutes ces courbes est la même. Mais toutes ces courbes sont différentes car il est très peu probable qu’elles partagent la même moyenne ou la même déviation standard. Les courbes en cloche avec de grands écarts-types sont larges et les courbes en cloche avec de petits écarts-types sont maigres. Les courbes en cloche avec des moyennes plus grandes sont plus décalées vers la droite que celles avec des moyennes plus petites.

Un exemple

Pour rendre cela un peu plus concret, supposons que nous mesurions les diamètres de 500 grains de maïs. Ensuite, nous enregistrons, analysons et représentons graphiquement ces données. On constate que l'ensemble de données a la forme d'une courbe en cloche et a une moyenne de 1,2 cm avec un écart type de 0,4 cm. Supposons maintenant que nous faisons la même chose avec 500 grains, et nous constatons qu'ils ont un diamètre moyen de 0,8 cm avec un écart type de 0,04 cm.

Les courbes en cloche de ces deux ensembles de données sont tracées ci-dessus. La courbe rouge correspond aux données du maïs et la courbe verte correspond aux données du haricot. Comme nous pouvons le voir, les centres et les écarts de ces deux courbes sont différents.

Ce sont clairement deux courbes de cloche différentes. Ils sont différents parce que leurs moyens et écarts-types ne correspondent pas. Étant donné que tous les ensembles de données intéressants que nous rencontrons peuvent avoir n'importe quel nombre positif comme écart-type et n'importe quel nombre pour une moyenne, nous ne faisons qu'effleurer la surface d'un infini nombre de courbes en cloche. Cela représente beaucoup de courbes et beaucoup trop de choses à gérer. Quelle est la solution?

Une courbe en cloche très spéciale

L'un des objectifs des mathématiques est de généraliser les choses autant que possible. Parfois, plusieurs problèmes individuels sont des cas particuliers d'un seul problème. Cette situation impliquant des courbes en cloche en est une excellente illustration. Plutôt que de traiter un nombre infini de courbes en cloche, nous pouvons les relier toutes à une seule courbe. Cette courbe en cloche spéciale est appelée courbe en cloche standard ou distribution normale standard.

La courbe en cloche standard a une moyenne de zéro et un écart type de un. Toute autre courbe en cloche peut être comparée à cette norme au moyen d'un calcul simple.

Caractéristiques de la distribution normale standard

Toutes les propriétés de n'importe quelle courbe en cloche sont valables pour la distribution normale standard.

• La distribution normale standard a non seulement une moyenne de zéro mais aussi une médiane et un mode de zéro. C'est le centre de la courbe.
• La distribution normale standard montre une symétrie miroir à zéro. La moitié de la courbe est à gauche de zéro et la moitié de la courbe est à droite. Si la courbe était pliée le long d'une ligne verticale à zéro, les deux moitiés correspondraient parfaitement.
• La distribution normale standard suit la règle 68-95-99.7, ce qui nous permet d'estimer facilement les éléments suivants:
  • Environ 68% de toutes les données se situent entre -1 et 1.
  • Environ 95% de toutes les données se situent entre -2 et 2.
  • Environ 99,7% de toutes les données se situent entre -3 et 3.

Pourquoi nous nous soucions

À ce stade, nous pouvons demander: «Pourquoi s'embêter avec une courbe en cloche standard?» Cela peut sembler une complication inutile, mais la courbe en cloche standard sera bénéfique au fur et à mesure que nous continuons dans les statistiques.

Nous constaterons qu'un type de problème en statistique nous oblige à trouver des zones sous des portions de n'importe quelle courbe en cloche que nous rencontrons. La courbe en cloche n'est pas une belle forme pour les zones. Ce n'est pas comme un rectangle ou un triangle rectangle qui ont des formules de zone faciles. Trouver des zones de parties d'une courbe en cloche peut être délicat, si difficile, en fait, que nous aurions besoin d'utiliser du calcul. Si nous ne normalisons pas nos courbes en cloche, nous aurions besoin de faire un calcul chaque fois que nous voulons trouver une zone. Si nous standardisons nos courbes, tout le travail de calcul des surfaces a été fait pour nous.