Un exemple de test du chi carré pour une expérience multinomiale

Une utilisation d'une distribution du chi carré est avec des tests d'hypothèse pour des expériences multinomiales. Pour voir comment fonctionne ce test d'hypothèse, nous étudierons les deux exemples suivants. Les deux exemples suivent la même série d'étapes:

1. Former les hypothèses nulles et alternatives
2. Calculer la statistique de test
3. Trouver la valeur critique
4. Décider de rejeter ou de ne pas rejeter notre hypothèse nulle. 

Exemple 1: une pièce équitable

Pour notre premier exemple, nous voulons regarder une pièce. Une pièce de monnaie équitable a une probabilité égale de 1/2 de se présenter face à face. Nous lançons une pièce 1000 fois et enregistrons les résultats d'un total de 580 têtes et 420 queues. Nous voulons tester l'hypothèse à un niveau de confiance de 95% que la pièce que nous avons retournée est juste. Plus formellement, l'hypothèse nulle H₀ c'est que la pièce est juste. Puisque nous comparons les fréquences observées des résultats d'un tirage au sort aux fréquences attendues d'une pièce de monnaie équitable idéalisée, un test du khi carré devrait être utilisé..

Calculer la statistique du chi carré

Nous commençons par calculer la statistique du chi carré pour ce scénario. Il y a deux événements, les têtes et les queues. Les têtes ont une fréquence observée de F₁ = 580 avec la fréquence attendue de e₁ = 50% x 1000 = 500. Les queues ont une fréquence observée de F₂ = 420 avec une fréquence attendue de e₁ = 500.

Nous utilisons maintenant la formule de la statistique du chi carré et voyons que χ² = (F₁ - e₁ )²/e₁ + (F₂ - e₂ )²/e₂= 80²/ 500 + (-80)²/ 500 = 25,6.

Trouver la valeur critique

Ensuite, nous devons trouver la valeur critique pour la bonne distribution du chi carré. Puisqu'il y a deux résultats pour la pièce, il y a deux catégories à considérer. Le nombre de degrés de liberté est inférieur de un au nombre de catégories: 2 - 1 = 1. Nous utilisons la distribution du khi carré pour ce nombre de degrés de liberté et voyons que χ²_0,95= 3,841.

Rejeter ou ne pas rejeter?

Enfin, nous comparons la statistique chi carré calculée avec la valeur critique du tableau. Depuis 25,6> 3,841, nous rejetons l'hypothèse nulle selon laquelle il s'agit d'une pièce équitable.

Exemple 2: Un juste meurent

Un dé juste a une probabilité égale de 1/6 de lancer un, deux, trois, quatre, cinq ou six. Nous lançons un dé 600 fois et notons que nous lançons un 106 fois, deux 90 fois, trois 98 fois, quatre 102 fois, cinq 100 fois et six 104 fois. Nous voulons tester l'hypothèse à un niveau de confiance de 95% que nous avons un bon sort.

Calculer la statistique du chi carré

Il y a six événements, chacun avec une fréquence attendue de 1/6 x 600 = 100. Les fréquences observées sont F₁ = 106, F₂ = 90, F₃ = 98, F₄ = 102, F₅ = 100, F₆ = 104,

Nous utilisons maintenant la formule de la statistique du chi carré et voyons que χ² = (F₁ - e₁ )²/e₁ + (F₂ - e₂ )²/e₂+ (F₃ - e₃ )²/e₃+(F₄ - e₄ )²/e₄+(F₅ - e₅ )²/e₅+(F₆ - e₆ )²/e₆ = 1,6.

Trouver la valeur critique

Ensuite, nous devons trouver la valeur critique pour la bonne distribution du chi carré. Puisqu'il y a six catégories de résultats pour le dé, le nombre de degrés de liberté est inférieur à celui-ci: 6 - 1 = 5. Nous utilisons la distribution du chi carré pour cinq degrés de liberté et voyons que²_0,95= 11,071.

Rejeter ou ne pas rejeter?

Enfin, nous comparons la statistique chi carré calculée avec la valeur critique du tableau. Étant donné que la statistique chi carré calculée est 1,6 est inférieure à notre valeur critique de 11,071, nous ne rejetons pas l'hypothèse nulle.