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Résolution des fonctions exponentielles Recherche du montant d'origine

Science
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Les fonctions exponentielles racontent les histoires de changements explosifs. Les deux types de fonctions exponentielles sont croissance exponentielle et décroissance exponentielle. Quatre variables - le pourcentage de changement, le temps, le montant au début de la période et le montant à la fin de la période - jouent un rôle dans les fonctions exponentielles. Cet article explique comment trouver le montant au début de la période, une.

Croissance exponentielle

Croissance exponentielle: le changement qui se produit lorsqu'un montant d'origine est augmenté d'un taux constant sur une période de temps

Croissance exponentielle dans la vraie vie:

  • Valeurs des prix des maisons
  • Valeurs des investissements
  • Augmentation de l'adhésion à un site de réseautage social populaire

Voici une fonction de croissance exponentielle:

y = une(1 + b)X

  • y: Montant final restant sur une période de temps
  • une: Le montant d'origine
  • X: Temps
  • le facteur de croissance est (1 + b).
  • La variable, b, est le pourcentage de changement sous forme décimale.

Décroissance exponentielle

Décroissance exponentielle: le changement qui se produit quand une quantité originale est réduite d'un taux constant sur une période de temps

Décroissance exponentielle dans la vraie vie:

  • Déclin du lectorat des journaux
  • Déclin des coups aux États-Unis.
  • Nombre de personnes restant dans une ville frappée par un ouragan

Voici une fonction de décroissance exponentielle:

y = une(1-b)X

  • y: Montant final restant après la décroissance sur une période de temps
  • une: Le montant d'origine
  • X: Temps
  • le facteur de décroissance est (1-b).
  • La variable, b, est le pourcentage de diminution sous forme décimale.

But de la recherche du montant d'origine

Dans six ans, vous voudrez peut-être poursuivre des études de premier cycle à la Dream University. Avec un prix de 120 000 $, Dream University évoque les terreurs financières nocturnes. Après des nuits blanches, vous, maman et papa rencontrez un planificateur financier. Les yeux injectés de sang de vos parents s'éclaircissent lorsque le planificateur révèle un investissement avec un taux de croissance de 8% qui peut aider votre famille à atteindre l'objectif de 120 000 $. Étudiez dur. Si vous et vos parents investissez 75 620,36 $ aujourd'hui, Dream University deviendra votre réalité.

Comment résoudre le montant d'origine d'une fonction exponentielle

Cette fonction décrit la croissance exponentielle de l'investissement:

120.000 = une(1 +.08)6

  • 120 000: Montant final restant après 6 ans
  • .08: Taux de croissance annuel
  • 6: Le nombre d'années pour que l'investissement croisse
  • une: Le montant initial que votre famille a investi

Allusion: Grâce à la propriété symétrique d'égalité, 120 000 = une(1 +.08)6 est le même que une(1 +.08)6 = 120 000. (Propriété d'égalité symétrique: si 10 + 5 = 15, alors 15 = 10 +5.)

Si vous préférez réécrire l'équation avec la constante 120 000 à droite de l'équation, faites-le.

une(1 +.08)6 = 120 000

Certes, l'équation ne ressemble pas à une équation linéaire (6une = 120 000 $), mais il est résoluble. Restez avec elle!

une(1 +.08)6 = 120 000

Attention: ne résolvez pas cette équation exponentielle en divisant 120 000 par 6. C'est un calcul tentant non-non.

1. Utilisez l'ordre des opérations pour simplifier.

une(1 +.08)6 = 120 000

une(1.08)6 = 120 000 (parenthèses)

une(1.586874323) = 120 000 (exposant)

2. Résoudre en divisant

une(1.586874323) = 120 000

une(1,586874323) / (1,586874323) = 120 000 / (1,586874323)

1une = 75,620.35523

une = 75,620.35523

Le montant initial, ou le montant que votre famille devrait investir, est d'environ 75 620,36 $..

3. Geler - vous n'avez pas encore terminé. Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.

120.000 = une(1 +.08)6

120.000 = 75.620.35523 (1 +.08)6

120.000 = 75.620.35523 (1.08)6 (Parenthèse)

120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (exposant)

120 000 = 120 000 (multiplication)

Exercices pratiques: réponses et explications

Voici des exemples de résolution pour le montant d'origine, compte tenu de la fonction exponentielle:

  1. 84 = une(1 + .31)sept
    Utiliser l'ordre des opérations pour simplifier.
    84 = une(1,31)sept (Parenthèse)
    84 = une(6.620626219) (Exposant)
    Diviser pour résoudre.
    84 / 6.620626219 = une(6.620626219) /6.620626219
    12.68762157 = 1une
    12.68762157 = une
    Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
    84 = 12,68762157 (1,31)sept (Parenthèse)
    84 = 12,68762157 (6,620626219) (exposant)
    84 = 84 (multiplication)
  2. une(1 -,65)3 = 56
    Utiliser l'ordre des opérations pour simplifier.
    une(.35)3 = 56 (parenthèses)
    une(.042875) = 56 (exposant)
    Diviser pour résoudre.
    une(.042875) /. 042875 = 56 / .042875
    une = 1 306,122449
    Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
    une(1 -,65)3 = 56
    1306,122449 (0,35)3 = 56 (parenthèses)
    1306,122449 (0,042875) = 56 (exposant)
    56 = 56 (multiplier)
  3. une(1 + .10)5 = 100 000
    Utiliser l'ordre des opérations pour simplifier.
    une(1.10)5 = 100 000 (parenthèses)
    une(1.61051) = 100 000 (exposant)
    Diviser pour résoudre.
    une(1,61051) /1,61051 = 100 000 / 1,61051
    une = 62 092,13231
    Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
    62 092,3231 (1 + .10)5 = 100 000
    62 092,3231 (1,10)5 = 100 000 (parenthèses)
    62 092,3231 (1,61051) = 100 000 (exposant)
    100 000 = 100 000 (multiplier)
  4. 8.200 = une(1,20)15
    Utiliser l'ordre des opérations pour simplifier.
    8.200 = une(1,20)15 (Exposant)
    8.200 = une(15.40702157)
    Diviser pour résoudre.
    8.200 / 15.40702157 = une(15.40702157) /15.40702157
    532.2248665 = 1une
    532.2248665 = une
    Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
    8.200 = 532.2248665 (1,20)15
    8.200 = 532.2248665 (15.40702157) (exposant)
    8 200 = 8200 (Eh bien, 8 199,9999… Juste une petite erreur d'arrondi.) (Multiplier.)
  5. une(1 -.33)2 = 1 000
    Utiliser l'ordre des opérations pour simplifier.
    une(.67)2 = 1000 (parenthèses)
    une(.4489) = 1 000 (exposant)
    Diviser pour résoudre.
    une(.4489) /. 4489 = 1.000 / .4489
    1une = 2,227,667632
    une = 2,227,667632
    Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
    2.227,667632 (1 -,33)2 = 1 000
    2.227,667632 (0,67)2 = 1000 (parenthèses)
    2.227,667632 (.4489) = 1000 (exposant)
    1000 = 1000 (multiplier)
  6. une(.25)4 = 750
    Utiliser l'ordre des opérations pour simplifier.
    une(.00390625) = 750 (exposant)
    Diviser pour résoudre.
    une(.00390625) / 00390625 = 750 / .00390625
    1a = 192 000
    a = 192 000
    Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
    192 000 (0,25)4 = 750
    192 000 (.00390625) = 750
    750 = 750
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